Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19744 / 9632
↖ ↑ ↗
← N 59.355596°
E 36.914062°		 ← 622.68 m → N 59.355596°
E 36.925049°		 →
↑
622.70 m
↓
↑
622.70 m
↓
N 59.349996°
E 36.914062°		 ← 622.78 m →
387 776 m²		 N 59.349996°
E 36.925049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602554321289062 y=0.293960571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602554321289062 × 215)
    floor (0.602554321289062 × 32768)
    floor (19744.5)     		tx = 19744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293960571289062 × 215)
    floor (0.293960571289062 × 32768)
    floor (9632.5)     		ty = 9632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19744 / 9632 ti = "15/19744/9632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19744/9632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19744 ÷ 215
    19744 ÷ 32768     		x = 0.6025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9632 ÷ 215
    9632 ÷ 32768     		y = 0.2939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2939453125 × 2 - 1) × π
    0.412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29467978493848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64427193} λ = 0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29467978493848))-π/2
    2×atan(3.64982705740315)-π/2
    2×1.30337345418988-π/2
    2.60674690837976-1.57079632675     		φ = 1.03595058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03595058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.355596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19744 KachelY 9632 0.64427193 1.03595058 36.914062 59.355596
    Oben rechts KachelX + 1 19745 KachelY 9632 0.64446368 1.03595058 36.925049 59.355596
    Unten links KachelX 19744 KachelY + 1 9633 0.64427193 1.03585284 36.914062 59.349996
    Unten rechts KachelX + 1 19745 KachelY + 1 9633 0.64446368 1.03585284 36.925049 59.349996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03595058-1.03585284) × R
    9.77399999999573e-05 × 6371000     		dl = 622.701539999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03595058-1.03585284) × R
    9.77399999999573e-05 × 6371000     		dr = 622.701539999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64427193-0.64446368) × cos(1.03595058) × R
    0.000191749999999935 × 0.509708334170315 × 6371000     		do = 622.679707074362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64427193-0.64446368) × cos(1.03585284) × R
    0.000191749999999935 × 0.509792422077081 × 6371000     		du = 622.782432161718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03595058)-sin(1.03585284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509708334170315-0.509792422077081)×R²
    abs(0.64446368-0.64427193)×8.40879067662836e-05×R²
    0.000191749999999935×8.40879067662836e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.40879067662836e-05×40589641000000     		ar = 387775.596365182m²