Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19711 / 9474
↖ ↑ ↗
← N 60.228903°
E 36.551514°		 ← 606.59 m → N 60.228903°
E 36.562500°		 →
↑
606.65 m
↓
↑
606.65 m
↓
N 60.223447°
E 36.551514°		 ← 606.69 m →
368 015 m²		 N 60.223447°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601547241210938 y=0.289138793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601547241210938 × 215)
    floor (0.601547241210938 × 32768)
    floor (19711.5)     		tx = 19711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289138793945312 × 215)
    floor (0.289138793945312 × 32768)
    floor (9474.5)     		ty = 9474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19711 / 9474 ti = "15/19711/9474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19711/9474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19711 ÷ 215
    19711 ÷ 32768     		x = 0.601531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9474 ÷ 215
    9474 ÷ 32768     		y = 0.28912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601531982421875 × 2 - 1) × π
    0.20306396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63794426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28912353515625 × 2 - 1) × π
    0.4217529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32497590549835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63794426} λ = 0.63794426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32497590549835))-π/2
    2×atan(3.76209470811072)-π/2
    2×1.31099449246636-π/2
    2.62198898493272-1.57079632675     		φ = 1.05119266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63794426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.551514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05119266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.228903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19711 KachelY 9474 0.63794426 1.05119266 36.551514 60.228903
    Oben rechts KachelX + 1 19712 KachelY 9474 0.63813601 1.05119266 36.562500 60.228903
    Unten links KachelX 19711 KachelY + 1 9475 0.63794426 1.05109744 36.551514 60.223447
    Unten rechts KachelX + 1 19712 KachelY + 1 9475 0.63813601 1.05109744 36.562500 60.223447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05119266-1.05109744) × R
    9.52199999999515e-05 × 6371000     		dl = 606.646619999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05119266-1.05109744) × R
    9.52199999999515e-05 × 6371000     		dr = 606.646619999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63794426-0.63813601) × cos(1.05119266) × R
    0.000191749999999935 × 0.496536153270842 × 6371000     		do = 606.58805387947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63794426-0.63813601) × cos(1.05109744) × R
    0.000191749999999935 × 0.49661880350719 × 6371000     		du = 606.689022652215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05119266)-sin(1.05109744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496536153270842-0.49661880350719)×R²
    abs(0.63813601-0.63794426)×8.26502363482917e-05×R²
    0.000191749999999935×8.26502363482917e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.26502363482917e-05×40589641000000     		ar = 368015.219078213m²