Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19710 / 9475
↖ ↑ ↗
← N 60.223447°
E 36.540527°		 ← 606.69 m → N 60.223447°
E 36.551514°		 →
↑
606.71 m
↓
↑
606.71 m
↓
N 60.217991°
E 36.540527°		 ← 606.79 m →
368 115 m²		 N 60.217991°
E 36.551514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601516723632812 y=0.289169311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601516723632812 × 215)
    floor (0.601516723632812 × 32768)
    floor (19710.5)     		tx = 19710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289169311523438 × 215)
    floor (0.289169311523438 × 32768)
    floor (9475.5)     		ty = 9475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19710 / 9475 ti = "15/19710/9475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19710/9475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19710 ÷ 215
    19710 ÷ 32768     		x = 0.60150146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9475 ÷ 215
    9475 ÷ 32768     		y = 0.289154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60150146484375 × 2 - 1) × π
    0.2030029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63775251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289154052734375 × 2 - 1) × π
    0.42169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32478415789987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63775251} λ = 0.63775251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32478415789987))-π/2
    2×atan(3.7613734046415)-π/2
    2×1.31094688369691-π/2
    2.62189376739383-1.57079632675     		φ = 1.05109744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63775251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.540527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05109744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.223447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19710 KachelY 9475 0.63775251 1.05109744 36.540527 60.223447
    Oben rechts KachelX + 1 19711 KachelY 9475 0.63794426 1.05109744 36.551514 60.223447
    Unten links KachelX 19710 KachelY + 1 9476 0.63775251 1.05100221 36.540527 60.217991
    Unten rechts KachelX + 1 19711 KachelY + 1 9476 0.63794426 1.05100221 36.551514 60.217991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05109744-1.05100221) × R
    9.52299999998907e-05 × 6371000     		dl = 606.710329999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05109744-1.05100221) × R
    9.52299999998907e-05 × 6371000     		dr = 606.710329999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63775251-0.63794426) × cos(1.05109744) × R
    0.000191750000000046 × 0.49661880350719 × 6371000     		do = 606.689022652567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63775251-0.63794426) × cos(1.05100221) × R
    0.000191750000000046 × 0.496701457919985 × 6371000     		du = 606.789996527423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05109744)-sin(1.05100221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49661880350719-0.496701457919985)×R²
    abs(0.63794426-0.63775251)×8.26544127954798e-05×R²
    0.000191750000000046×8.26544127954798e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.26544127954798e-05×40589641000000     		ar = 368115.12836579m²