Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19708 / 9473
↖ ↑ ↗
← N 60.234357°
E 36.518555°		 ← 606.46 m → N 60.234357°
E 36.529541°		 →
↑
606.52 m
↓
↑
606.52 m
↓
N 60.228903°
E 36.518555°		 ← 606.56 m →
367 858 m²		 N 60.228903°
E 36.529541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601455688476562 y=0.289108276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601455688476562 × 215)
    floor (0.601455688476562 × 32768)
    floor (19708.5)     		tx = 19708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289108276367188 × 215)
    floor (0.289108276367188 × 32768)
    floor (9473.5)     		ty = 9473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19708 / 9473 ti = "15/19708/9473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19708/9473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19708 ÷ 215
    19708 ÷ 32768     		x = 0.6014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9473 ÷ 215
    9473 ÷ 32768     		y = 0.289093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6014404296875 × 2 - 1) × π
    0.202880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63736902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.289093017578125 × 2 - 1) × π
    0.42181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32516765309683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63736902} λ = 0.63736902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32516765309683))-π/2
    2×atan(3.76281614990142)-π/2
    2×1.31104209331247-π/2
    2.62208418662493-1.57079632675     		φ = 1.05128786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63736902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.518555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05128786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.234357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19708 KachelY 9473 0.63736902 1.05128786 36.518555 60.234357
    Oben rechts KachelX + 1 19709 KachelY 9473 0.63756076 1.05128786 36.529541 60.234357
    Unten links KachelX 19708 KachelY + 1 9474 0.63736902 1.05119266 36.518555 60.228903
    Unten rechts KachelX + 1 19709 KachelY + 1 9474 0.63756076 1.05119266 36.529541 60.228903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05128786-1.05119266) × R
    9.5200000000073e-05 × 6371000     		dl = 606.519200000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05128786-1.05119266) × R
    9.5200000000073e-05 × 6371000     		dr = 606.519200000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63736902-0.63756076) × cos(1.05128786) × R
    0.000191739999999996 × 0.496453515893741 × 6371000     		do = 606.455471762783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63736902-0.63756076) × cos(1.05119266) × R
    0.000191739999999996 × 0.496536153270842 × 6371000     		du = 606.556419561338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05128786)-sin(1.05119266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496453515893741-0.496536153270842)×R²
    abs(0.63756076-0.63736902)×8.26373771001809e-05×R²
    0.000191739999999996×8.26373771001809e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.26373771001809e-05×40589641000000     		ar = 367857.501236522m²