Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19688 / 9448
↖ ↑ ↗
← N 60.370429°
E 36.298828°		 ← 603.94 m → N 60.370429°
E 36.309814°		 →
↑
604.03 m
↓
↑
604.03 m
↓
N 60.364997°
E 36.298828°		 ← 604.04 m →
364 828 m²		 N 60.364997°
E 36.309814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600845336914062 y=0.288345336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600845336914062 × 215)
    floor (0.600845336914062 × 32768)
    floor (19688.5)     		tx = 19688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288345336914062 × 215)
    floor (0.288345336914062 × 32768)
    floor (9448.5)     		ty = 9448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19688 / 9448 ti = "15/19688/9448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19688/9448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19688 ÷ 215
    19688 ÷ 32768     		x = 0.600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9448 ÷ 215
    9448 ÷ 32768     		y = 0.288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600830078125 × 2 - 1) × π
    0.20166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63353407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288330078125 × 2 - 1) × π
    0.42333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32996134305884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63353407} λ = 0.63353407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32996134305884))-π/2
    2×atan(3.7808972268221)-π/2
    2×1.31222954197616-π/2
    2.62445908395232-1.57079632675     		φ = 1.05366276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63353407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.298828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05366276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.370429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19688 KachelY 9448 0.63353407 1.05366276 36.298828 60.370429
    Oben rechts KachelX + 1 19689 KachelY 9448 0.63372581 1.05366276 36.309814 60.370429
    Unten links KachelX 19688 KachelY + 1 9449 0.63353407 1.05356795 36.298828 60.364997
    Unten rechts KachelX + 1 19689 KachelY + 1 9449 0.63372581 1.05356795 36.309814 60.364997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05366276-1.05356795) × R
    9.48100000000007e-05 × 6371000     		dl = 604.034510000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05366276-1.05356795) × R
    9.48100000000007e-05 × 6371000     		dr = 604.034510000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63353407-0.63372581) × cos(1.05366276) × R
    0.000191739999999996 × 0.49439055424619 × 6371000     		do = 603.935408274176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63353407-0.63372581) × cos(1.05356795) × R
    0.000191739999999996 × 0.494472964657661 × 6371000     		du = 604.03607881707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05366276)-sin(1.05356795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49439055424619-0.494472964657661)×R²
    abs(0.63372581-0.63353407)×8.24104114706681e-05×R²
    0.000191739999999996×8.24104114706681e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.24104114706681e-05×40589641000000     		ar = 364828.232923479m²