Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19461 / 9223
↖ ↑ ↗
← N 61.569805°
E 33.804932°		 ← 581.61 m → N 61.569805°
E 33.815918°		 →
↑
581.61 m
↓
↑
581.61 m
↓
N 61.564574°
E 33.804932°		 ← 581.71 m →
338 296 m²		 N 61.564574°
E 33.815918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593917846679688 y=0.281478881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593917846679688 × 215)
    floor (0.593917846679688 × 32768)
    floor (19461.5)     		tx = 19461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281478881835938 × 215)
    floor (0.281478881835938 × 32768)
    floor (9223.5)     		ty = 9223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19461 / 9223 ti = "15/19461/9223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19461/9223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19461 ÷ 215
    19461 ÷ 32768     		x = 0.593902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9223 ÷ 215
    9223 ÷ 32768     		y = 0.281463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593902587890625 × 2 - 1) × π
    0.18780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59000736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281463623046875 × 2 - 1) × π
    0.43707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.37310455271689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59000736} λ = 0.59000736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37310455271689))-π/2
    2×atan(3.94758718374728)-π/2
    2×1.322696070017-π/2
    2.645392140034-1.57079632675     		φ = 1.07459581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59000736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.804932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07459581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.569805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19461 KachelY 9223 0.59000736 1.07459581 33.804932 61.569805
    Oben rechts KachelX + 1 19462 KachelY 9223 0.59019911 1.07459581 33.815918 61.569805
    Unten links KachelX 19461 KachelY + 1 9224 0.59000736 1.07450452 33.804932 61.564574
    Unten rechts KachelX + 1 19462 KachelY + 1 9224 0.59019911 1.07450452 33.815918 61.564574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07459581-1.07450452) × R
    9.12899999998551e-05 × 6371000     		dl = 581.608589999077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07459581-1.07450452) × R
    9.12899999998551e-05 × 6371000     		dr = 581.608589999077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59000736-0.59019911) × cos(1.07459581) × R
    0.000191750000000046 × 0.47608772591493 × 6371000     		do = 581.607452421061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59000736-0.59019911) × cos(1.07450452) × R
    0.000191750000000046 × 0.476168004155459 × 6371000     		du = 581.705523470612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07459581)-sin(1.07450452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47608772591493-0.476168004155459)×R²
    abs(0.59019911-0.59000736)×8.02782405290303e-05×R²
    0.000191750000000046×8.02782405290303e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.02782405290303e-05×40589641000000     		ar = 338296.410053126m²