Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19457 / 9227
↖ ↑ ↗
← N 61.548876°
E 33.760986°		 ← 582 m → N 61.548876°
E 33.771973°		 →
↑
582.05 m
↓
↑
582.05 m
↓
N 61.543642°
E 33.760986°		 ← 582.10 m →
338 784 m²		 N 61.543642°
E 33.771973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593795776367188 y=0.281600952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593795776367188 × 215)
    floor (0.593795776367188 × 32768)
    floor (19457.5)     		tx = 19457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281600952148438 × 215)
    floor (0.281600952148438 × 32768)
    floor (9227.5)     		ty = 9227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19457 / 9227 ti = "15/19457/9227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19457/9227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19457 ÷ 215
    19457 ÷ 32768     		x = 0.593780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9227 ÷ 215
    9227 ÷ 32768     		y = 0.281585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593780517578125 × 2 - 1) × π
    0.18756103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58924037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281585693359375 × 2 - 1) × π
    0.43682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37233756232297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58924037} λ = 0.58924037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37233756232297))-π/2
    2×atan(3.94456058313335)-π/2
    2×1.32251343107882-π/2
    2.64502686215764-1.57079632675     		φ = 1.07423054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58924037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.760986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07423054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.548876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19457 KachelY 9227 0.58924037 1.07423054 33.760986 61.548876
    Oben rechts KachelX + 1 19458 KachelY 9227 0.58943212 1.07423054 33.771973 61.548876
    Unten links KachelX 19457 KachelY + 1 9228 0.58924037 1.07413918 33.760986 61.543642
    Unten rechts KachelX + 1 19458 KachelY + 1 9228 0.58943212 1.07413918 33.771973 61.543642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07423054-1.07413918) × R
    9.13600000000958e-05 × 6371000     		dl = 582.05456000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07423054-1.07413918) × R
    9.13600000000958e-05 × 6371000     		dr = 582.05456000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58924037-0.58943212) × cos(1.07423054) × R
    0.000191750000000046 × 0.476408911779079 × 6371000     		do = 581.99982567925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58924037-0.58943212) × cos(1.07413918) × R
    0.000191750000000046 × 0.476489235680154 × 6371000     		du = 582.097952509517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07423054)-sin(1.07413918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476408911779079-0.476489235680154)×R²
    abs(0.58943212-0.58924037)×8.03239010757073e-05×R²
    0.000191750000000046×8.03239010757073e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.03239010757073e-05×40589641000000     		ar = 338784.210276543m²