Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19453 / 9225
↖ ↑ ↗
← N 61.559342°
E 33.717041°		 ← 581.80 m → N 61.559342°
E 33.728027°		 →
↑
581.86 m
↓
↑
581.86 m
↓
N 61.554110°
E 33.717041°		 ← 581.90 m →
338 559 m²		 N 61.554110°
E 33.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593673706054688 y=0.281539916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593673706054688 × 215)
    floor (0.593673706054688 × 32768)
    floor (19453.5)     		tx = 19453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281539916992188 × 215)
    floor (0.281539916992188 × 32768)
    floor (9225.5)     		ty = 9225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19453 / 9225 ti = "15/19453/9225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19453/9225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19453 ÷ 215
    19453 ÷ 32768     		x = 0.593658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9225 ÷ 215
    9225 ÷ 32768     		y = 0.281524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593658447265625 × 2 - 1) × π
    0.18731689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58847338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281524658203125 × 2 - 1) × π
    0.43695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37272105751993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58847338} λ = 0.58847338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37272105751993))-π/2
    2×atan(3.94607359326862)-π/2
    2×1.3226047659449-π/2
    2.6452095318898-1.57079632675     		φ = 1.07441321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58847338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07441321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.559342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19453 KachelY 9225 0.58847338 1.07441321 33.717041 61.559342
    Oben rechts KachelX + 1 19454 KachelY 9225 0.58866513 1.07441321 33.728027 61.559342
    Unten links KachelX 19453 KachelY + 1 9226 0.58847338 1.07432188 33.717041 61.554110
    Unten rechts KachelX + 1 19454 KachelY + 1 9226 0.58866513 1.07432188 33.728027 61.554110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07441321-1.07432188) × R
    9.1329999999834e-05 × 6371000     		dl = 581.863429998943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07441321-1.07432188) × R
    9.1329999999834e-05 × 6371000     		dr = 581.863429998943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58847338-0.58866513) × cos(1.07441321) × R
    0.000191749999999935 × 0.476248296013886 × 6371000     		do = 581.803611155985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58847338-0.58866513) × cos(1.07432188) × R
    0.000191749999999935 × 0.476328601486932 × 6371000     		du = 581.901715473847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07441321)-sin(1.07432188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476248296013886-0.476328601486932)×R²
    abs(0.58866513-0.58847338)×8.03054730457164e-05×R²
    0.000191749999999935×8.03054730457164e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.03054730457164e-05×40589641000000     		ar = 338558.786666076m²