Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1925 / 1661
↖ ↑ ↗
← N 32.175613°
W 10.810547°		 ← 8 272.05 m → N 32.175613°
W 10.722656°		 →
↑
8 275.48 m
↓
↑
8 275.48 m
↓
N 32.101189°
W 10.810547°		 ← 8 278.80 m →
68 483 164 m²		 N 32.101189°
W 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4700927734375 y=0.4056396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4700927734375 × 212)
    floor (0.4700927734375 × 4096)
    floor (1925.5)     		tx = 1925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4056396484375 × 212)
    floor (0.4056396484375 × 4096)
    floor (1661.5)     		ty = 1661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1925 / 1661 ti = "12/1925/1661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1925/1661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1925 ÷ 212
    1925 ÷ 4096     		x = 0.469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1661 ÷ 212
    1661 ÷ 4096     		y = 0.405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.06005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18867964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405517578125 × 2 - 1) × π
    0.18896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.593650564894775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18867964} λ = -0.18867964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593650564894775))-π/2
    2×atan(1.810586027356)-π/2
    2×1.06618335168806-π/2
    2.13236670337612-1.57079632675     		φ = 0.56157038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18867964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.810547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56157038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.175613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1925 KachelY 1661 -0.18867964 0.56157038 -10.810547 32.175613
    Oben rechts KachelX + 1 1926 KachelY 1661 -0.18714566 0.56157038 -10.722656 32.175613
    Unten links KachelX 1925 KachelY + 1 1662 -0.18867964 0.56027145 -10.810547 32.101189
    Unten rechts KachelX + 1 1926 KachelY + 1 1662 -0.18714566 0.56027145 -10.722656 32.101189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56157038-0.56027145) × R
    0.00129893000000003 × 6371000     		dl = 8275.4830300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56157038-0.56027145) × R
    0.00129893000000003 × 6371000     		dr = 8275.4830300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18867964--0.18714566) × cos(0.56157038) × R
    0.00153398000000002 × 0.846419902469899 × 6371000     		do = 8272.05034788333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18867964--0.18714566) × cos(0.56027145) × R
    0.00153398000000002 × 0.847110889306722 × 6371000     		du = 8278.80335296655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56157038)-sin(0.56027145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846419902469899-0.847110889306722)×R²
    abs(-0.18714566--0.18867964)×0.00069098683682256×R²
    0.00153398000000002×0.00069098683682256×6371000²
    0.00153398000000002×0.00069098683682256×40589641000000     		ar = 68483164.0955442m²