Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1924 / 1660
↖ ↑ ↗
← N 32.249975°
W 10.898438°		 ← 8 265.29 m → N 32.249975°
W 10.810547°		 →
↑
8 268.67 m
↓
↑
8 268.67 m
↓
N 32.175613°
W 10.898438°		 ← 8 272.05 m →
68 370 878 m²		 N 32.175613°
W 10.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4698486328125 y=0.4053955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4698486328125 × 212)
    floor (0.4698486328125 × 4096)
    floor (1924.5)     		tx = 1924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4053955078125 × 212)
    floor (0.4053955078125 × 4096)
    floor (1660.5)     		ty = 1660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1924 / 1660 ti = "12/1924/1660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1924/1660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1924 ÷ 212
    1924 ÷ 4096     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1660 ÷ 212
    1660 ÷ 4096     		y = 0.4052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.595184545682617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595184545682617))-π/2
    2×atan(1.8133655628687)-π/2
    2×1.0668322823597-π/2
    2.13366456471939-1.57079632675     		φ = 0.56286824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56286824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.249975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1924 KachelY 1660 -0.19021362 0.56286824 -10.898438 32.249975
    Oben rechts KachelX + 1 1925 KachelY 1660 -0.18867964 0.56286824 -10.810547 32.249975
    Unten links KachelX 1924 KachelY + 1 1661 -0.19021362 0.56157038 -10.898438 32.175613
    Unten rechts KachelX + 1 1925 KachelY + 1 1661 -0.18867964 0.56157038 -10.810547 32.175613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56286824-0.56157038) × R
    0.00129785999999998 × 6371000     		dl = 8268.6660599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56286824-0.56157038) × R
    0.00129785999999998 × 6371000     		dr = 8268.6660599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18867964) × cos(0.56286824) × R
    0.00153397999999999 × 0.845728058505028 × 6371000     		do = 8265.28896609904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18867964) × cos(0.56157038) × R
    0.00153397999999999 × 0.846419902469899 × 6371000     		du = 8272.05034788318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56286824)-sin(0.56157038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845728058505028-0.846419902469899)×R²
    abs(-0.18867964--0.19021362)×0.000691843964871208×R²
    0.00153397999999999×0.000691843964871208×6371000²
    0.00153397999999999×0.000691843964871208×40589641000000     		ar = 68370877.751336m²