Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19092 / 18311
↖ ↑ ↗
← S 20.704739°
E 29.750977°		 ← 1 142.68 m → S 20.704739°
E 29.761963°		 →
↑
1 142.70 m
↓
↑
1 142.70 m
↓
S 20.715015°
E 29.750977°		 ← 1 142.60 m →
1 305 699 m²		 S 20.715015°
E 29.761963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582656860351562 y=0.558822631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582656860351562 × 215)
    floor (0.582656860351562 × 32768)
    floor (19092.5)     		tx = 19092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558822631835938 × 215)
    floor (0.558822631835938 × 32768)
    floor (18311.5)     		ty = 18311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19092 / 18311 ti = "15/19092/18311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19092/18311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19092 ÷ 215
    19092 ÷ 32768     		x = 0.5826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18311 ÷ 215
    18311 ÷ 32768     		y = 0.558807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5826416015625 × 2 - 1) × π
    0.165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51925250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558807373046875 × 2 - 1) × π
    -0.11761474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.369497622271393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51925250} λ = 0.51925250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369497622271393))-π/2
    2×atan(0.691081427360983)-π/2
    2×0.604715232687325-π/2
    1.20943046537465-1.57079632675     		φ = -0.36136586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51925250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.750977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36136586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.704739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19092 KachelY 18311 0.51925250 -0.36136586 29.750977 -20.704739
    Oben rechts KachelX + 1 19093 KachelY 18311 0.51944424 -0.36136586 29.761963 -20.704739
    Unten links KachelX 19092 KachelY + 1 18312 0.51925250 -0.36154522 29.750977 -20.715015
    Unten rechts KachelX + 1 19093 KachelY + 1 18312 0.51944424 -0.36154522 29.761963 -20.715015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36136586--0.36154522) × R
    0.000179360000000017 × 6371000     		dl = 1142.70256000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36136586--0.36154522) × R
    0.000179360000000017 × 6371000     		dr = 1142.70256000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51925250-0.51944424) × cos(-0.36136586) × R
    0.000191739999999996 × 0.93541479355124 × 6371000     		do = 1142.67983155632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51925250-0.51944424) × cos(-0.36154522) × R
    0.000191739999999996 × 0.935351365381345 × 6371000     		du = 1142.60234925543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36136586)-sin(-0.36154522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93541479355124-0.935351365381345)×R²
    abs(0.51944424-0.51925250)×6.3428169895019e-05×R²
    0.000191739999999996×6.3428169895019e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.3428169895019e-05×40589641000000     		ar = 1305698.90266817m²