Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19088 / 18313
↖ ↑ ↗
← S 20.725291°
E 29.707031°		 ← 1 142.52 m → S 20.725291°
E 29.718017°		 →
↑
1 142.58 m
↓
↑
1 142.58 m
↓
S 20.735566°
E 29.707031°		 ← 1 142.45 m →
1 305 376 m²		 S 20.735566°
E 29.718017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582534790039062 y=0.558883666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582534790039062 × 215)
    floor (0.582534790039062 × 32768)
    floor (19088.5)     		tx = 19088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558883666992188 × 215)
    floor (0.558883666992188 × 32768)
    floor (18313.5)     		ty = 18313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19088 / 18313 ti = "15/19088/18313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19088/18313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19088 ÷ 215
    19088 ÷ 32768     		x = 0.58251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18313 ÷ 215
    18313 ÷ 32768     		y = 0.558868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.11773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.369881117468353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51848551} λ = 0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.369881117468353))-π/2
    2×atan(0.690816451764563)-π/2
    2×0.604535881310026-π/2
    1.20907176262005-1.57079632675     		φ = -0.36172456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36172456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.725291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19088 KachelY 18313 0.51848551 -0.36172456 29.707031 -20.725291
    Oben rechts KachelX + 1 19089 KachelY 18313 0.51867725 -0.36172456 29.718017 -20.725291
    Unten links KachelX 19088 KachelY + 1 18314 0.51848551 -0.36190390 29.707031 -20.735566
    Unten rechts KachelX + 1 19089 KachelY + 1 18314 0.51867725 -0.36190390 29.718017 -20.735566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36172456--0.36190390) × R
    0.000179340000000028 × 6371000     		dl = 1142.57514000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36172456--0.36190390) × R
    0.000179340000000028 × 6371000     		dr = 1142.57514000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51848551-0.51867725) × cos(-0.36172456) × R
    0.000191739999999996 × 0.935287914198942 × 6371000     		do = 1142.52483884302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51848551-0.51867725) × cos(-0.36190390) × R
    0.000191739999999996 × 0.935224432935028 × 6371000     		du = 1142.44729168378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36172456)-sin(-0.36190390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935287914198942-0.935224432935028)×R²
    abs(0.51867725-0.51848551)×6.34812639142002e-05×R²
    0.000191739999999996×6.34812639142002e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.34812639142002e-05×40589641000000     		ar = 1305376.17946517m²