Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19087 / 18302
↖ ↑ ↗
← S 20.612220°
E 29.696045°		 ← 1 143.44 m → S 20.612220°
E 29.707031°		 →
↑
1 143.34 m
↓
↑
1 143.34 m
↓
S 20.622502°
E 29.696045°		 ← 1 143.36 m →
1 307 291 m²		 S 20.622502°
E 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582504272460938 y=0.558547973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582504272460938 × 215)
    floor (0.582504272460938 × 32768)
    floor (19087.5)     		tx = 19087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558547973632812 × 215)
    floor (0.558547973632812 × 32768)
    floor (18302.5)     		ty = 18302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19087 / 18302 ti = "15/19087/18302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19087/18302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19087 ÷ 215
    19087 ÷ 32768     		x = 0.582489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18302 ÷ 215
    18302 ÷ 32768     		y = 0.55853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582489013671875 × 2 - 1) × π
    0.16497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51829376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.1170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.367771893885071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51829376} λ = 0.51829376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.367771893885071))-π/2
    2×atan(0.692275075857749)-π/2
    2×0.605522614548244-π/2
    1.21104522909649-1.57079632675     		φ = -0.35975110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51829376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.696045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35975110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.612220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19087 KachelY 18302 0.51829376 -0.35975110 29.696045 -20.612220
    Oben rechts KachelX + 1 19088 KachelY 18302 0.51848551 -0.35975110 29.707031 -20.612220
    Unten links KachelX 19087 KachelY + 1 18303 0.51829376 -0.35993056 29.696045 -20.622502
    Unten rechts KachelX + 1 19088 KachelY + 1 18303 0.51848551 -0.35993056 29.707031 -20.622502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35975110--0.35993056) × R
    0.00017946000000002 × 6371000     		dl = 1143.33966000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35975110--0.35993056) × R
    0.00017946000000002 × 6371000     		dr = 1143.33966000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51829376-0.51848551) × cos(-0.35975110) × R
    0.000191749999999935 × 0.935984475743722 × 6371000     		do = 1143.43537295882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51829376-0.51848551) × cos(-0.35993056) × R
    0.000191749999999935 × 0.935921283344267 × 6371000     		du = 1143.35817464334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35975110)-sin(-0.35993056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935984475743722-0.935921283344267)×R²
    abs(0.51848551-0.51829376)×6.31923994545147e-05×R²
    0.000191749999999935×6.31923994545147e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.31923994545147e-05×40589641000000     		ar = 1307290.88211145m²