Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19086 / 18582
↖ ↑ ↗
← S 23.463246°
E 29.685059°		 ← 1 120.63 m → S 23.463246°
E 29.696045°		 →
↑
1 120.60 m
↓
↑
1 120.60 m
↓
S 23.473324°
E 29.685059°		 ← 1 120.54 m →
1 255 723 m²		 S 23.473324°
E 29.696045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582473754882812 y=0.567092895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582473754882812 × 215)
    floor (0.582473754882812 × 32768)
    floor (19086.5)     		tx = 19086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567092895507812 × 215)
    floor (0.567092895507812 × 32768)
    floor (18582.5)     		ty = 18582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19086 / 18582 ti = "15/19086/18582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19086/18582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19086 ÷ 215
    19086 ÷ 32768     		x = 0.58245849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18582 ÷ 215
    18582 ÷ 32768     		y = 0.56707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58245849609375 × 2 - 1) × π
    0.1649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51810201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1341552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.421461221459534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51810201} λ = 0.51810201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.421461221459534))-π/2
    2×atan(0.656087430013213)-π/2
    2×0.580642712556956-π/2
    1.16128542511391-1.57079632675     		φ = -0.40951090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51810201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.685059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40951090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.463246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19086 KachelY 18582 0.51810201 -0.40951090 29.685059 -23.463246
    Oben rechts KachelX + 1 19087 KachelY 18582 0.51829376 -0.40951090 29.696045 -23.463246
    Unten links KachelX 19086 KachelY + 1 18583 0.51810201 -0.40968679 29.685059 -23.473324
    Unten rechts KachelX + 1 19087 KachelY + 1 18583 0.51829376 -0.40968679 29.696045 -23.473324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40951090--0.40968679) × R
    0.000175890000000012 × 6371000     		dl = 1120.59519000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40951090--0.40968679) × R
    0.000175890000000012 × 6371000     		dr = 1120.59519000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51810201-0.51829376) × cos(-0.40951090) × R
    0.000191750000000046 × 0.917315672934875 × 6371000     		do = 1120.62883069768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51810201-0.51829376) × cos(-0.40968679) × R
    0.000191750000000046 × 0.917245626257175 × 6371000     		du = 1120.54325892686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40951090)-sin(-0.40968679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917315672934875-0.917245626257175)×R²
    abs(0.51829376-0.51810201)×7.00466777008302e-05×R²
    0.000191750000000046×7.00466777008302e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.00466777008302e-05×40589641000000     		ar = 1255723.33503513m²