Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19084 / 18300
↖ ↑ ↗
← S 20.591652°
E 29.663086°		 ← 1 143.53 m → S 20.591652°
E 29.674072°		 →
↑
1 143.53 m
↓
↑
1 143.53 m
↓
S 20.601936°
E 29.663086°		 ← 1 143.45 m →
1 307 618 m²		 S 20.601936°
E 29.674072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582412719726562 y=0.558486938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582412719726562 × 215)
    floor (0.582412719726562 × 32768)
    floor (19084.5)     		tx = 19084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558486938476562 × 215)
    floor (0.558486938476562 × 32768)
    floor (18300.5)     		ty = 18300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19084 / 18300 ti = "15/19084/18300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19084/18300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19084 ÷ 215
    19084 ÷ 32768     		x = 0.5823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18300 ÷ 215
    18300 ÷ 32768     		y = 0.5584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.36738839868811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51771852} λ = 0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36738839868811))-π/2
    2×atan(0.692540610936776)-π/2
    2×0.605702099435492-π/2
    1.21140419887098-1.57079632675     		φ = -0.35939213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35939213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.591652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19084 KachelY 18300 0.51771852 -0.35939213 29.663086 -20.591652
    Oben rechts KachelX + 1 19085 KachelY 18300 0.51791026 -0.35939213 29.674072 -20.591652
    Unten links KachelX 19084 KachelY + 1 18301 0.51771852 -0.35957162 29.663086 -20.601936
    Unten rechts KachelX + 1 19085 KachelY + 1 18301 0.51791026 -0.35957162 29.674072 -20.601936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35939213--0.35957162) × R
    0.000179490000000004 × 6371000     		dl = 1143.53079000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35939213--0.35957162) × R
    0.000179490000000004 × 6371000     		dr = 1143.53079000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51771852-0.51791026) × cos(-0.35939213) × R
    0.000191739999999996 × 0.936110787693217 × 6371000     		do = 1143.53004097614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51771852-0.51791026) × cos(-0.35957162) × R
    0.000191739999999996 × 0.936047645036427 × 6371000     		du = 1143.45290745108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35939213)-sin(-0.35957162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936110787693217-0.936047645036427)×R²
    abs(0.51791026-0.51771852)×6.31426567899718e-05×R²
    0.000191739999999996×6.31426567899718e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.31426567899718e-05×40589641000000     		ar = 1307617.71237652m²