Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19083 / 18301
↖ ↑ ↗
← S 20.601936°
E 29.652100°		 ← 1 143.51 m → S 20.601936°
E 29.663086°		 →
↑
1 143.47 m
↓
↑
1 143.47 m
↓
S 20.612220°
E 29.652100°		 ← 1 143.44 m →
1 307 525 m²		 S 20.612220°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582382202148438 y=0.558517456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582382202148438 × 215)
    floor (0.582382202148438 × 32768)
    floor (19083.5)     		tx = 19083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558517456054688 × 215)
    floor (0.558517456054688 × 32768)
    floor (18301.5)     		ty = 18301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19083 / 18301 ti = "15/19083/18301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19083/18301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19083 ÷ 215
    19083 ÷ 32768     		x = 0.582366943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18301 ÷ 215
    18301 ÷ 32768     		y = 0.558502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582366943359375 × 2 - 1) × π
    0.16473388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51752677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558502197265625 × 2 - 1) × π
    -0.11700439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.367580146286591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51752677} λ = 0.51752677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.367580146286591))-π/2
    2×atan(0.692407830668334)-π/2
    2×0.605612353964369-π/2
    1.21122470792874-1.57079632675     		φ = -0.35957162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51752677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.652100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35957162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.601936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19083 KachelY 18301 0.51752677 -0.35957162 29.652100 -20.601936
    Oben rechts KachelX + 1 19084 KachelY 18301 0.51771852 -0.35957162 29.663086 -20.601936
    Unten links KachelX 19083 KachelY + 1 18302 0.51752677 -0.35975110 29.652100 -20.612220
    Unten rechts KachelX + 1 19084 KachelY + 1 18302 0.51771852 -0.35975110 29.663086 -20.612220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35957162--0.35975110) × R
    0.00017948000000001 × 6371000     		dl = 1143.46708000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35957162--0.35975110) × R
    0.00017948000000001 × 6371000     		dr = 1143.46708000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51752677-0.51771852) × cos(-0.35957162) × R
    0.000191749999999935 × 0.936047645036427 × 6371000     		do = 1143.51254304618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51752677-0.51771852) × cos(-0.35975110) × R
    0.000191749999999935 × 0.935984475743722 × 6371000     		du = 1143.43537295882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35957162)-sin(-0.35975110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936047645036427-0.935984475743722)×R²
    abs(0.51771852-0.51752677)×6.31692927057781e-05×R²
    0.000191749999999935×6.31692927057781e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.31692927057781e-05×40589641000000     		ar = 1307524.83132287m²