Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19079 / 18307
↖ ↑ ↗
← S 20.663626°
E 29.608154°		 ← 1 143.05 m → S 20.663626°
E 29.619141°		 →
↑
1 143.02 m
↓
↑
1 143.02 m
↓
S 20.673905°
E 29.608154°		 ← 1 142.97 m →
1 306 485 m²		 S 20.673905°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582260131835938 y=0.558700561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582260131835938 × 215)
    floor (0.582260131835938 × 32768)
    floor (19079.5)     		tx = 19079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558700561523438 × 215)
    floor (0.558700561523438 × 32768)
    floor (18307.5)     		ty = 18307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19079 / 18307 ti = "15/19079/18307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19079/18307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19079 ÷ 215
    19079 ÷ 32768     		x = 0.582244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18307 ÷ 215
    18307 ÷ 32768     		y = 0.558685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582244873046875 × 2 - 1) × π
    0.16448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51675978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558685302734375 × 2 - 1) × π
    -0.11737060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368730631877472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51675978} λ = 0.51675978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368730631877472))-π/2
    2×atan(0.691611683501875)-π/2
    2×0.605074008379454-π/2
    1.21014801675891-1.57079632675     		φ = -0.36064831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51675978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.608154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36064831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.663626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19079 KachelY 18307 0.51675978 -0.36064831 29.608154 -20.663626
    Oben rechts KachelX + 1 19080 KachelY 18307 0.51695153 -0.36064831 29.619141 -20.663626
    Unten links KachelX 19079 KachelY + 1 18308 0.51675978 -0.36082772 29.608154 -20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 19080 KachelY + 1 18308 0.51695153 -0.36082772 29.619141 -20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36064831--0.36082772) × R
    0.000179409999999991 × 6371000     		dl = 1143.02110999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36064831--0.36082772) × R
    0.000179409999999991 × 6371000     		dr = 1143.02110999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51675978-0.51695153) × cos(-0.36064831) × R
    0.000191750000000046 × 0.935668244104308 × 6371000     		do = 1143.04905197668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51675978-0.51695153) × cos(-0.36082772) × R
    0.000191750000000046 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 1142.97169115512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36064831)-sin(-0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935668244104308-0.935604918681879)×R²
    abs(0.51695153-0.51675978)×6.3325422428262e-05×R²
    0.000191750000000046×6.3325422428262e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.3325422428262e-05×40589641000000     		ar = 1306484.98715325m²