Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19075 / 18319
↖ ↑ ↗
← S 20.786931°
E 29.564209°		 ← 1 142.12 m → S 20.786931°
E 29.575196°		 →
↑
1 142.07 m
↓
↑
1 142.07 m
↓
S 20.797201°
E 29.564209°		 ← 1 142.04 m →
1 304 330 m²		 S 20.797201°
E 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582138061523438 y=0.559066772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582138061523438 × 215)
    floor (0.582138061523438 × 32768)
    floor (19075.5)     		tx = 19075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559066772460938 × 215)
    floor (0.559066772460938 × 32768)
    floor (18319.5)     		ty = 18319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19075 / 18319 ti = "15/19075/18319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19075/18319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19075 ÷ 215
    19075 ÷ 32768     		x = 0.582122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18319 ÷ 215
    18319 ÷ 32768     		y = 0.559051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.11810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.371031603059235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51599279} λ = 0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371031603059235))-π/2
    2×atan(0.690022134403818)-π/2
    2×0.603997973290462-π/2
    1.20799594658092-1.57079632675     		φ = -0.36280038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36280038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.786931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19075 KachelY 18319 0.51599279 -0.36280038 29.564209 -20.786931
    Oben rechts KachelX + 1 19076 KachelY 18319 0.51618454 -0.36280038 29.575196 -20.786931
    Unten links KachelX 19075 KachelY + 1 18320 0.51599279 -0.36297964 29.564209 -20.797201
    Unten rechts KachelX + 1 19076 KachelY + 1 18320 0.51618454 -0.36297964 29.575196 -20.797201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36280038--0.36297964) × R
    0.000179260000000014 × 6371000     		dl = 1142.06546000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36280038--0.36297964) × R
    0.000179260000000014 × 6371000     		dr = 1142.06546000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51599279-0.51618454) × cos(-0.36280038) × R
    0.000191750000000046 × 0.934906653540922 × 6371000     		do = 1142.11866305202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51599279-0.51618454) × cos(-0.36297964) × R
    0.000191750000000046 × 0.934843020272642 × 6371000     		du = 1142.04092615388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36280038)-sin(-0.36297964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934906653540922-0.934843020272642)×R²
    abs(0.51618454-0.51599279)×6.36332682795171e-05×R²
    0.000191750000000046×6.36332682795171e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.36332682795171e-05×40589641000000     		ar = 1304329.88947262m²