Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19074 / 18315
↖ ↑ ↗
← S 20.745840°
E 29.553223°		 ← 1 142.43 m → S 20.745840°
E 29.564209°		 →
↑
1 142.38 m
↓
↑
1 142.38 m
↓
S 20.756114°
E 29.553223°		 ← 1 142.35 m →
1 305 049 m²		 S 20.756114°
E 29.564209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582107543945312 y=0.558944702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582107543945312 × 215)
    floor (0.582107543945312 × 32768)
    floor (19074.5)     		tx = 19074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558944702148438 × 215)
    floor (0.558944702148438 × 32768)
    floor (18315.5)     		ty = 18315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19074 / 18315 ti = "15/19074/18315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19074/18315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19074 ÷ 215
    19074 ÷ 32768     		x = 0.58209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18315 ÷ 215
    18315 ÷ 32768     		y = 0.558929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58209228515625 × 2 - 1) × π
    0.1641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51580104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.370264612665314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51580104} λ = 0.51580104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.370264612665314))-π/2
    2×atan(0.69055157776553)-π/2
    2×0.604356554271611-π/2
    1.20871310854322-1.57079632675     		φ = -0.36208322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51580104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.553223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36208322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.745840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19074 KachelY 18315 0.51580104 -0.36208322 29.553223 -20.745840
    Oben rechts KachelX + 1 19075 KachelY 18315 0.51599279 -0.36208322 29.564209 -20.745840
    Unten links KachelX 19074 KachelY + 1 18316 0.51580104 -0.36226253 29.553223 -20.756114
    Unten rechts KachelX + 1 19075 KachelY + 1 18316 0.51599279 -0.36226253 29.564209 -20.756114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36208322--0.36226253) × R
    0.000179310000000044 × 6371000     		dl = 1142.38401000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36208322--0.36226253) × R
    0.000179310000000044 × 6371000     		dr = 1142.38401000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51580104-0.51599279) × cos(-0.36208322) × R
    0.000191749999999935 × 0.935160928676107 × 6371000     		do = 1142.4292955368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51580104-0.51599279) × cos(-0.36226253) × R
    0.000191749999999935 × 0.935097397890376 × 6371000     		du = 1142.35168383536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36208322)-sin(-0.36226253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935160928676107-0.935097397890376)×R²
    abs(0.51599279-0.51580104)×6.35307857314027e-05×R²
    0.000191749999999935×6.35307857314027e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.35307857314027e-05×40589641000000     		ar = 1305048.63209022m²