Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19069 / 18325
↖ ↑ ↗
← S 20.848545°
E 29.498291°		 ← 1 141.65 m → S 20.848545°
E 29.509277°		 →
↑
1 141.56 m
↓
↑
1 141.56 m
↓
S 20.858812°
E 29.498291°		 ← 1 141.57 m →
1 303 215 m²		 S 20.858812°
E 29.509277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581954956054688 y=0.559249877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581954956054688 × 215)
    floor (0.581954956054688 × 32768)
    floor (19069.5)     		tx = 19069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559249877929688 × 215)
    floor (0.559249877929688 × 32768)
    floor (18325.5)     		ty = 18325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19069 / 18325 ti = "15/19069/18325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19069/18325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19069 ÷ 215
    19069 ÷ 32768     		x = 0.581939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18325 ÷ 215
    18325 ÷ 32768     		y = 0.559234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581939697265625 × 2 - 1) × π
    0.16387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51484230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.11846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.372182088650116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51484230} λ = 0.51484230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372182088650116))-π/2
    2×atan(0.689228730368266)-π/2
    2×0.603460284853905-π/2
    1.20692056970781-1.57079632675     		φ = -0.36387576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51484230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.498291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36387576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.848545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19069 KachelY 18325 0.51484230 -0.36387576 29.498291 -20.848545
    Oben rechts KachelX + 1 19070 KachelY 18325 0.51503405 -0.36387576 29.509277 -20.848545
    Unten links KachelX 19069 KachelY + 1 18326 0.51484230 -0.36405494 29.498291 -20.858812
    Unten rechts KachelX + 1 19070 KachelY + 1 18326 0.51503405 -0.36405494 29.509277 -20.858812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36387576--0.36405494) × R
    0.000179180000000001 × 6371000     		dl = 1141.55578000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36387576--0.36405494) × R
    0.000179180000000001 × 6371000     		dr = 1141.55578000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51484230-0.51503405) × cos(-0.36387576) × R
    0.000191750000000046 × 0.934524467428237 × 6371000     		do = 1141.65176949596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51484230-0.51503405) × cos(-0.36405494) × R
    0.000191750000000046 × 0.934460682463825 × 6371000     		du = 1141.57384727987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36387576)-sin(-0.36405494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934524467428237-0.934460682463825)×R²
    abs(0.51503405-0.51484230)×6.37849644121724e-05×R²
    0.000191750000000046×6.37849644121724e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.37849644121724e-05×40589641000000     		ar = 1303214.70342388m²