Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19063 / 18551
↖ ↑ ↗
← S 23.150462°
E 29.432373°		 ← 1 123.21 m → S 23.150462°
E 29.443359°		 →
↑
1 123.21 m
↓
↑
1 123.21 m
↓
S 23.160564°
E 29.432373°		 ← 1 123.12 m →
1 261 549 m²		 S 23.160564°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581771850585938 y=0.566146850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581771850585938 × 215)
    floor (0.581771850585938 × 32768)
    floor (19063.5)     		tx = 19063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566146850585938 × 215)
    floor (0.566146850585938 × 32768)
    floor (18551.5)     		ty = 18551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19063 / 18551 ti = "15/19063/18551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19063/18551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19063 ÷ 215
    19063 ÷ 32768     		x = 0.581756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18551 ÷ 215
    18551 ÷ 32768     		y = 0.566131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581756591796875 × 2 - 1) × π
    0.16351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51369182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.13226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.415517045906647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51369182} λ = 0.51369182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.415517045906647))-π/2
    2×atan(0.659998942717159)-π/2
    2×0.583372270518964-π/2
    1.16674454103793-1.57079632675     		φ = -0.40405179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51369182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40405179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.150462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19063 KachelY 18551 0.51369182 -0.40405179 29.432373 -23.150462
    Oben rechts KachelX + 1 19064 KachelY 18551 0.51388356 -0.40405179 29.443359 -23.150462
    Unten links KachelX 19063 KachelY + 1 18552 0.51369182 -0.40422809 29.432373 -23.160564
    Unten rechts KachelX + 1 19064 KachelY + 1 18552 0.51388356 -0.40422809 29.443359 -23.160564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40405179--0.40422809) × R
    0.000176299999999963 × 6371000     		dl = 1123.20729999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40405179--0.40422809) × R
    0.000176299999999963 × 6371000     		dr = 1123.20729999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51369182-0.51388356) × cos(-0.40405179) × R
    0.000191739999999996 × 0.919475596455095 × 6371000     		do = 1123.20889825643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51369182-0.51388356) × cos(-0.40422809) × R
    0.000191739999999996 × 0.919406270335596 × 6371000     		du = 1123.12421116457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40405179)-sin(-0.40422809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919475596455095-0.919406270335596)×R²
    abs(0.51388356-0.51369182)×6.932611949928e-05×R²
    0.000191739999999996×6.932611949928e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.932611949928e-05×40589641000000     		ar = 1261548.87663405m²