Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19058 / 18548
↖ ↑ ↗
← S 23.120153°
E 29.377442°		 ← 1 123.52 m → S 23.120153°
E 29.388428°		 →
↑
1 123.46 m
↓
↑
1 123.46 m
↓
S 23.130257°
E 29.377442°		 ← 1 123.44 m →
1 262 186 m²		 S 23.130257°
E 29.388428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581619262695312 y=0.566055297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581619262695312 × 215)
    floor (0.581619262695312 × 32768)
    floor (19058.5)     		tx = 19058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566055297851562 × 215)
    floor (0.566055297851562 × 32768)
    floor (18548.5)     		ty = 18548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19058 / 18548 ti = "15/19058/18548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19058/18548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19058 ÷ 215
    19058 ÷ 32768     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18548 ÷ 215
    18548 ÷ 32768     		y = 0.5660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.414941803111206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414941803111206))-π/2
    2×atan(0.660378711573133)-π/2
    2×0.583636761270162-π/2
    1.16727352254032-1.57079632675     		φ = -0.40352280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40352280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.120153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19058 KachelY 18548 0.51273308 -0.40352280 29.377442 -23.120153
    Oben rechts KachelX + 1 19059 KachelY 18548 0.51292483 -0.40352280 29.388428 -23.120153
    Unten links KachelX 19058 KachelY + 1 18549 0.51273308 -0.40369914 29.377442 -23.130257
    Unten rechts KachelX + 1 19059 KachelY + 1 18549 0.51292483 -0.40369914 29.388428 -23.130257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40352280--0.40369914) × R
    0.000176339999999997 × 6371000     		dl = 1123.46213999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40352280--0.40369914) × R
    0.000176339999999997 × 6371000     		dr = 1123.46213999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51292483) × cos(-0.40352280) × R
    0.000191750000000046 × 0.919683438671307 × 6371000     		do = 1123.52138625611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51292483) × cos(-0.40369914) × R
    0.000191750000000046 × 0.919614182596515 × 6371000     		du = 1123.43678031684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40352280)-sin(-0.40369914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919683438671307-0.919614182596515)×R²
    abs(0.51292483-0.51273308)×6.92560747918014e-05×R²
    0.000191750000000046×6.92560747918014e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.92560747918014e-05×40589641000000     		ar = 1262186.21842487m²