Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19057 / 18575
↖ ↑ ↗
← S 23.392682°
E 29.366455°		 ← 1 121.23 m → S 23.392682°
E 29.377442°		 →
↑
1 121.17 m
↓
↑
1 121.17 m
↓
S 23.402765°
E 29.366455°		 ← 1 121.14 m →
1 257 037 m²		 S 23.402765°
E 29.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581588745117188 y=0.566879272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581588745117188 × 215)
    floor (0.581588745117188 × 32768)
    floor (19057.5)     		tx = 19057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566879272460938 × 215)
    floor (0.566879272460938 × 32768)
    floor (18575.5)     		ty = 18575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19057 / 18575 ti = "15/19057/18575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19057/18575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19057 ÷ 215
    19057 ÷ 32768     		x = 0.581573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18575 ÷ 215
    18575 ÷ 32768     		y = 0.566864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581573486328125 × 2 - 1) × π
    0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.13372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.420118988270172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51254133} λ = 0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.420118988270172))-π/2
    2×atan(0.656968643601663)-π/2
    2×0.581258502703589-π/2
    1.16251700540718-1.57079632675     		φ = -0.40827932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40827932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.392682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19057 KachelY 18575 0.51254133 -0.40827932 29.366455 -23.392682
    Oben rechts KachelX + 1 19058 KachelY 18575 0.51273308 -0.40827932 29.377442 -23.392682
    Unten links KachelX 19057 KachelY + 1 18576 0.51254133 -0.40845530 29.366455 -23.402765
    Unten rechts KachelX + 1 19058 KachelY + 1 18576 0.51273308 -0.40845530 29.377442 -23.402765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40827932--0.40845530) × R
    0.00017598000000002 × 6371000     		dl = 1121.16858000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40827932--0.40845530) × R
    0.00017598000000002 × 6371000     		dr = 1121.16858000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51254133-0.51273308) × cos(-0.40827932) × R
    0.000191749999999935 × 0.917805343898967 × 6371000     		do = 1121.22703196635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51254133-0.51273308) × cos(-0.40845530) × R
    0.000191749999999935 × 0.917735460230772 × 6371000     		du = 1121.14165933435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40827932)-sin(-0.40845530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917805343898967-0.917735460230772)×R²
    abs(0.51273308-0.51254133)×6.98836681948256e-05×R²
    0.000191749999999935×6.98836681948256e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.98836681948256e-05×40589641000000     		ar = 1257036.6639755m²