Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19056 / 18298
↖ ↑ ↗
← S 20.571082°
E 29.355469°		 ← 1 143.74 m → S 20.571082°
E 29.366455°		 →
↑
1 143.66 m
↓
↑
1 143.66 m
↓
S 20.581367°
E 29.355469°		 ← 1 143.67 m →
1 308 008 m²		 S 20.581367°
E 29.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581558227539062 y=0.558425903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581558227539062 × 215)
    floor (0.581558227539062 × 32768)
    floor (19056.5)     		tx = 19056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558425903320312 × 215)
    floor (0.558425903320312 × 32768)
    floor (18298.5)     		ty = 18298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19056 / 18298 ti = "15/19056/18298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19056/18298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19056 ÷ 215
    19056 ÷ 32768     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18298 ÷ 215
    18298 ÷ 32768     		y = 0.55841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.36700490349115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36700490349115))-π/2
    2×atan(0.692806247866758)-π/2
    2×0.605881608532805-π/2
    1.21176321706561-1.57079632675     		φ = -0.35903311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35903311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.571082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19056 KachelY 18298 0.51234958 -0.35903311 29.355469 -20.571082
    Oben rechts KachelX + 1 19057 KachelY 18298 0.51254133 -0.35903311 29.366455 -20.571082
    Unten links KachelX 19056 KachelY + 1 18299 0.51234958 -0.35921262 29.355469 -20.581367
    Unten rechts KachelX + 1 19057 KachelY + 1 18299 0.51254133 -0.35921262 29.366455 -20.581367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35903311--0.35921262) × R
    0.000179509999999994 × 6371000     		dl = 1143.65820999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35903311--0.35921262) × R
    0.000179509999999994 × 6371000     		dr = 1143.65820999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51254133) × cos(-0.35903311) × R
    0.000191750000000046 × 0.936236996584442 × 6371000     		do = 1143.74386232994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51254133) × cos(-0.35921262) × R
    0.000191750000000046 × 0.936173907222389 × 6371000     		du = 1143.666789889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35903311)-sin(-0.35921262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936236996584442-0.936173907222389)×R²
    abs(0.51254133-0.51234958)×6.30893620532369e-05×R²
    0.000191750000000046×6.30893620532369e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.30893620532369e-05×40589641000000     		ar = 1308007.98953832m²