Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19056 / 18295
↖ ↑ ↗
← S 20.540221°
E 29.355469°		 ← 1 143.97 m → S 20.540221°
E 29.366455°		 →
↑
1 143.91 m
↓
↑
1 143.91 m
↓
S 20.550509°
E 29.355469°		 ← 1 143.90 m →
1 308 564 m²		 S 20.550509°
E 29.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581558227539062 y=0.558334350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581558227539062 × 215)
    floor (0.581558227539062 × 32768)
    floor (19056.5)     		tx = 19056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558334350585938 × 215)
    floor (0.558334350585938 × 32768)
    floor (18295.5)     		ty = 18295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19056 / 18295 ti = "15/19056/18295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19056/18295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19056 ÷ 215
    19056 ÷ 32768     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18295 ÷ 215
    18295 ÷ 32768     		y = 0.558319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.366429660695709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366429660695709))-π/2
    2×atan(0.693204894317736)-π/2
    2×0.606150917529165-π/2
    1.21230183505833-1.57079632675     		φ = -0.35849449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35849449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.540221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19056 KachelY 18295 0.51234958 -0.35849449 29.355469 -20.540221
    Oben rechts KachelX + 1 19057 KachelY 18295 0.51254133 -0.35849449 29.366455 -20.540221
    Unten links KachelX 19056 KachelY + 1 18296 0.51234958 -0.35867404 29.355469 -20.550509
    Unten rechts KachelX + 1 19057 KachelY + 1 18296 0.51254133 -0.35867404 29.366455 -20.550509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35849449--0.35867404) × R
    0.000179550000000028 × 6371000     		dl = 1143.91305000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35849449--0.35867404) × R
    0.000179550000000028 × 6371000     		dr = 1143.91305000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51254133) × cos(-0.35849449) × R
    0.000191750000000046 × 0.936426115225406 × 6371000     		do = 1143.97489708465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51254133) × cos(-0.35867404) × R
    0.000191750000000046 × 0.936363102350712 × 6371000     		du = 1143.89791808367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35849449)-sin(-0.35867404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936426115225406-0.936363102350712)×R²
    abs(0.51254133-0.51234958)×6.30128746941239e-05×R²
    0.000191750000000046×6.30128746941239e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.30128746941239e-05×40589641000000     		ar = 1308563.78852131m²