Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19056 / 18291
↖ ↑ ↗
← S 20.499065°
E 29.355469°		 ← 1 144.28 m → S 20.499065°
E 29.366455°		 →
↑
1 144.17 m
↓
↑
1 144.17 m
↓
S 20.509354°
E 29.355469°		 ← 1 144.21 m →
1 309 207 m²		 S 20.509354°
E 29.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581558227539062 y=0.558212280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581558227539062 × 215)
    floor (0.581558227539062 × 32768)
    floor (19056.5)     		tx = 19056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558212280273438 × 215)
    floor (0.558212280273438 × 32768)
    floor (18291.5)     		ty = 18291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19056 / 18291 ti = "15/19056/18291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19056/18291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19056 ÷ 215
    19056 ÷ 32768     		x = 0.58154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18291 ÷ 215
    18291 ÷ 32768     		y = 0.558197021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58154296875 × 2 - 1) × π
    0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558197021484375 × 2 - 1) × π
    -0.11639404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.365662670301788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51234958} λ = 0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365662670301788))-π/2
    2×atan(0.693736779762135)-π/2
    2×0.606510080740578-π/2
    1.21302016148116-1.57079632675     		φ = -0.35777617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35777617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.499065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19056 KachelY 18291 0.51234958 -0.35777617 29.355469 -20.499065
    Oben rechts KachelX + 1 19057 KachelY 18291 0.51254133 -0.35777617 29.366455 -20.499065
    Unten links KachelX 19056 KachelY + 1 18292 0.51234958 -0.35795576 29.355469 -20.509354
    Unten rechts KachelX + 1 19057 KachelY + 1 18292 0.51254133 -0.35795576 29.366455 -20.509354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35777617--0.35795576) × R
    0.000179590000000007 × 6371000     		dl = 1144.16789000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35777617--0.35795576) × R
    0.000179590000000007 × 6371000     		dr = 1144.16789000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51234958-0.51254133) × cos(-0.35777617) × R
    0.000191750000000046 × 0.936677906839994 × 6371000     		do = 1144.28249560385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51234958-0.51254133) × cos(-0.35795576) × R
    0.000191750000000046 × 0.936615000738027 × 6371000     		du = 1144.20564704063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35777617)-sin(-0.35795576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936677906839994-0.936615000738027)×R²
    abs(0.51254133-0.51234958)×6.29061019669086e-05×R²
    0.000191750000000046×6.29061019669086e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.29061019669086e-05×40589641000000     		ar = 1309207.3282486m²