Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19054 / 18296
↖ ↑ ↗
← S 20.550509°
E 29.333496°		 ← 1 143.90 m → S 20.550509°
E 29.344483°		 →
↑
1 143.85 m
↓
↑
1 143.85 m
↓
S 20.560796°
E 29.333496°		 ← 1 143.82 m →
1 308 403 m²		 S 20.560796°
E 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581497192382812 y=0.558364868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581497192382812 × 215)
    floor (0.581497192382812 × 32768)
    floor (19054.5)     		tx = 19054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558364868164062 × 215)
    floor (0.558364868164062 × 32768)
    floor (18296.5)     		ty = 18296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19054 / 18296 ti = "15/19054/18296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19054/18296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19054 ÷ 215
    19054 ÷ 32768     		x = 0.58148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18296 ÷ 215
    18296 ÷ 32768     		y = 0.558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58148193359375 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51196609} λ = 0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.366621408294189))-π/2
    2×atan(0.693071986686763)-π/2
    2×0.606061141820308-π/2
    1.21212228364062-1.57079632675     		φ = -0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19054 KachelY 18296 0.51196609 -0.35867404 29.333496 -20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 19055 KachelY 18296 0.51215784 -0.35867404 29.344483 -20.550509
    Unten links KachelX 19054 KachelY + 1 18297 0.51196609 -0.35885358 29.333496 -20.560796
    Unten rechts KachelX + 1 19055 KachelY + 1 18297 0.51215784 -0.35885358 29.344483 -20.560796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35867404--0.35885358) × R
    0.000179539999999978 × 6371000     		dl = 1143.84933999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35867404--0.35885358) × R
    0.000179539999999978 × 6371000     		dr = 1143.84933999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51196609-0.51215784) × cos(-0.35867404) × R
    0.000191749999999935 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 1143.89791808301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51196609-0.51215784) × cos(-0.35885358) × R
    0.000191749999999935 × 0.936300062801366 × 6371000     		du = 1143.82090649523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35867404)-sin(-0.35885358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.936300062801366)×R²
    abs(0.51215784-0.51196609)×6.30395493464997e-05×R²
    0.000191749999999935×6.30395493464997e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.30395493464997e-05×40589641000000     		ar = 1308402.83731447m²