Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19053 / 18546
↖ ↑ ↗
← S 23.099944°
E 29.322510°		 ← 1 123.69 m → S 23.099944°
E 29.333496°		 →
↑
1 123.65 m
↓
↑
1 123.65 m
↓
S 23.110049°
E 29.322510°		 ← 1 123.61 m →
1 262 591 m²		 S 23.110049°
E 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581466674804688 y=0.565994262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581466674804688 × 215)
    floor (0.581466674804688 × 32768)
    floor (19053.5)     		tx = 19053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565994262695312 × 215)
    floor (0.565994262695312 × 32768)
    floor (18546.5)     		ty = 18546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19053 / 18546 ti = "15/19053/18546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19053/18546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19053 ÷ 215
    19053 ÷ 32768     		x = 0.581451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18546 ÷ 215
    18546 ÷ 32768     		y = 0.56597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.414558307914246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51177434} λ = 0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.414558307914246))-π/2
    2×atan(0.660632012203879)-π/2
    2×0.583813121635057-π/2
    1.16762624327011-1.57079632675     		φ = -0.40317008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40317008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.099944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19053 KachelY 18546 0.51177434 -0.40317008 29.322510 -23.099944
    Oben rechts KachelX + 1 19054 KachelY 18546 0.51196609 -0.40317008 29.333496 -23.099944
    Unten links KachelX 19053 KachelY + 1 18547 0.51177434 -0.40334645 29.322510 -23.110049
    Unten rechts KachelX + 1 19054 KachelY + 1 18547 0.51196609 -0.40334645 29.333496 -23.110049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40317008--0.40334645) × R
    0.000176370000000037 × 6371000     		dl = 1123.65327000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40317008--0.40334645) × R
    0.000176370000000037 × 6371000     		dr = 1123.65327000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51177434-0.51196609) × cos(-0.40317008) × R
    0.000191750000000046 × 0.919821880717323 × 6371000     		do = 1123.69051249337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51177434-0.51196609) × cos(-0.40334645) × R
    0.000191750000000046 × 0.919752670072795 × 6371000     		du = 1123.6059620535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40317008)-sin(-0.40334645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919821880717323-0.919752670072795)×R²
    abs(0.51196609-0.51177434)×6.92106445278062e-05×R²
    0.000191750000000046×6.92106445278062e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.92106445278062e-05×40589641000000     		ar = 1262591.01941525m²