Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19053 / 18542
↖ ↑ ↗
← S 23.059516°
E 29.322510°		 ← 1 124.03 m → S 23.059516°
E 29.333496°		 →
↑
1 123.97 m
↓
↑
1 123.97 m
↓
S 23.069624°
E 29.322510°		 ← 1 123.94 m →
1 263 329 m²		 S 23.069624°
E 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581466674804688 y=0.565872192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581466674804688 × 215)
    floor (0.581466674804688 × 32768)
    floor (19053.5)     		tx = 19053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.565872192382812 × 215)
    floor (0.565872192382812 × 32768)
    floor (18542.5)     		ty = 18542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19053 / 18542 ti = "15/19053/18542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19053/18542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19053 ÷ 215
    19053 ÷ 32768     		x = 0.581451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18542 ÷ 215
    18542 ÷ 32768     		y = 0.56585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.413791317520325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51177434} λ = 0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.413791317520325))-π/2
    2×atan(0.661138904977251)-π/2
    2×0.584165921957914-π/2
    1.16833184391583-1.57079632675     		φ = -0.40246448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40246448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.059516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19053 KachelY 18542 0.51177434 -0.40246448 29.322510 -23.059516
    Oben rechts KachelX + 1 19054 KachelY 18542 0.51196609 -0.40246448 29.333496 -23.059516
    Unten links KachelX 19053 KachelY + 1 18543 0.51177434 -0.40264090 29.322510 -23.069624
    Unten rechts KachelX + 1 19054 KachelY + 1 18543 0.51196609 -0.40264090 29.333496 -23.069624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40246448--0.40264090) × R
    0.00017642000000001 × 6371000     		dl = 1123.97182000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40246448--0.40264090) × R
    0.00017642000000001 × 6371000     		dr = 1123.97182000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51177434-0.51196609) × cos(-0.40246448) × R
    0.000191750000000046 × 0.920098484153116 × 6371000     		do = 1124.02842210722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51177434-0.51196609) × cos(-0.40264090) × R
    0.000191750000000046 × 0.920029368397804 × 6371000     		du = 1123.94398758774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40246448)-sin(-0.40264090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920098484153116-0.920029368397804)×R²
    abs(0.51196609-0.51177434)×6.91157553119881e-05×R²
    0.000191750000000046×6.91157553119881e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.91157553119881e-05×40589641000000     		ar = 1263328.82359428m²