Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19053 / 18297
↖ ↑ ↗
← S 20.560796°
E 29.322510°		 ← 1 143.82 m → S 20.560796°
E 29.333496°		 →
↑
1 143.79 m
↓
↑
1 143.79 m
↓
S 20.571082°
E 29.322510°		 ← 1 143.74 m →
1 308 242 m²		 S 20.571082°
E 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581466674804688 y=0.558395385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581466674804688 × 215)
    floor (0.581466674804688 × 32768)
    floor (19053.5)     		tx = 19053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558395385742188 × 215)
    floor (0.558395385742188 × 32768)
    floor (18297.5)     		ty = 18297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19053 / 18297 ti = "15/19053/18297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19053/18297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19053 ÷ 215
    19053 ÷ 32768     		x = 0.581451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18297 ÷ 215
    18297 ÷ 32768     		y = 0.558380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.11676025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.36681315589267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51177434} λ = 0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.36681315589267))-π/2
    2×atan(0.692939104538065)-π/2
    2×0.605971372154026-π/2
    1.21194274430805-1.57079632675     		φ = -0.35885358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35885358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.560796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19053 KachelY 18297 0.51177434 -0.35885358 29.322510 -20.560796
    Oben rechts KachelX + 1 19054 KachelY 18297 0.51196609 -0.35885358 29.333496 -20.560796
    Unten links KachelX 19053 KachelY + 1 18298 0.51177434 -0.35903311 29.322510 -20.571082
    Unten rechts KachelX + 1 19054 KachelY + 1 18298 0.51196609 -0.35903311 29.333496 -20.571082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35885358--0.35903311) × R
    0.000179529999999983 × 6371000     		dl = 1143.78562999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35885358--0.35903311) × R
    0.000179529999999983 × 6371000     		dr = 1143.78562999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51177434-0.51196609) × cos(-0.35885358) × R
    0.000191750000000046 × 0.936300062801366 × 6371000     		do = 1143.82090649589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51177434-0.51196609) × cos(-0.35903311) × R
    0.000191750000000046 × 0.936236996584442 × 6371000     		du = 1143.74386232994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35885358)-sin(-0.35903311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936300062801366-0.936236996584442)×R²
    abs(0.51196609-0.51177434)×6.30662169237572e-05×R²
    0.000191750000000046×6.30662169237572e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.30662169237572e-05×40589641000000     		ar = 1308241.85865215m²