Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19042 / 18322
↖ ↑ ↗
← S 20.817741°
E 29.201660°		 ← 1 141.83 m → S 20.817741°
E 29.212646°		 →
↑
1 141.87 m
↓
↑
1 141.87 m
↓
S 20.828010°
E 29.201660°		 ← 1 141.75 m →
1 303 777 m²		 S 20.828010°
E 29.212646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581130981445312 y=0.559158325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581130981445312 × 215)
    floor (0.581130981445312 × 32768)
    floor (19042.5)     		tx = 19042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559158325195312 × 215)
    floor (0.559158325195312 × 32768)
    floor (18322.5)     		ty = 18322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19042 / 18322 ti = "15/19042/18322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19042/18322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19042 ÷ 215
    19042 ÷ 32768     		x = 0.58111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18322 ÷ 215
    18322 ÷ 32768     		y = 0.55914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58111572265625 × 2 - 1) × π
    0.1622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50966512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.1182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.371606845854675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50966512} λ = 0.50966512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.371606845854675))-π/2
    2×atan(0.689625318286056)-π/2
    2×0.603729101591034-π/2
    1.20745820318207-1.57079632675     		φ = -0.36333812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50966512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36333812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.817741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19042 KachelY 18322 0.50966512 -0.36333812 29.201660 -20.817741
    Oben rechts KachelX + 1 19043 KachelY 18322 0.50985686 -0.36333812 29.212646 -20.817741
    Unten links KachelX 19042 KachelY + 1 18323 0.50966512 -0.36351735 29.201660 -20.828010
    Unten rechts KachelX + 1 19043 KachelY + 1 18323 0.50985686 -0.36351735 29.212646 -20.828010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36333812--0.36351735) × R
    0.00017923000000003 × 6371000     		dl = 1141.87433000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36333812--0.36351735) × R
    0.00017923000000003 × 6371000     		dr = 1141.87433000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50966512-0.50985686) × cos(-0.36333812) × R
    0.000191739999999996 × 0.934715677832835 × 6371000     		do = 1141.82580889509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50966512-0.50985686) × cos(-0.36351735) × R
    0.000191739999999996 × 0.934651965123164 × 6371000     		du = 1141.74797900736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36333812)-sin(-0.36351735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934715677832835-0.934651965123164)×R²
    abs(0.50985686-0.50966512)×6.37127096716483e-05×R²
    0.000191739999999996×6.37127096716483e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.37127096716483e-05×40589641000000     		ar = 1303777.14802389m²