Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19039 / 18336
↖ ↑ ↗
← S 20.961440°
E 29.168701°		 ← 1 140.79 m → S 20.961440°
E 29.179687°		 →
↑
1 140.73 m
↓
↑
1 140.73 m
↓
S 20.971699°
E 29.168701°		 ← 1 140.71 m →
1 301 289 m²		 S 20.971699°
E 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581039428710938 y=0.559585571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581039428710938 × 215)
    floor (0.581039428710938 × 32768)
    floor (19039.5)     		tx = 19039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559585571289062 × 215)
    floor (0.559585571289062 × 32768)
    floor (18336.5)     		ty = 18336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19039 / 18336 ti = "15/19039/18336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19039/18336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19039 ÷ 215
    19039 ÷ 32768     		x = 0.581024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18336 ÷ 215
    18336 ÷ 32768     		y = 0.5595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581024169921875 × 2 - 1) × π
    0.16204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50908987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.374291312233398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50908987} λ = 0.50908987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.374291312233398))-π/2
    2×atan(0.687776524927263)-π/2
    2×0.602475094790464-π/2
    1.20495018958093-1.57079632675     		φ = -0.36584614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50908987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.168701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36584614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.961440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19039 KachelY 18336 0.50908987 -0.36584614 29.168701 -20.961440
    Oben rechts KachelX + 1 19040 KachelY 18336 0.50928162 -0.36584614 29.179687 -20.961440
    Unten links KachelX 19039 KachelY + 1 18337 0.50908987 -0.36602519 29.168701 -20.971699
    Unten rechts KachelX + 1 19040 KachelY + 1 18337 0.50928162 -0.36602519 29.179687 -20.971699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36584614--0.36602519) × R
    0.000179050000000014 × 6371000     		dl = 1140.72755000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36584614--0.36602519) × R
    0.000179050000000014 × 6371000     		dr = 1140.72755000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50908987-0.50928162) × cos(-0.36584614) × R
    0.000191749999999935 × 0.933821397730396 × 6371000     		do = 1140.79287195693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50908987-0.50928162) × cos(-0.36602519) × R
    0.000191749999999935 × 0.933757329492787 × 6371000     		du = 1140.71460368318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36584614)-sin(-0.36602519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933821397730396-0.933757329492787)×R²
    abs(0.50928162-0.50908987)×6.40682376092938e-05×R²
    0.000191749999999935×6.40682376092938e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.40682376092938e-05×40589641000000     		ar = 1301289.21997322m²