Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19036 / 18330
↖ ↑ ↗
← S 20.899871°
E 29.135742°		 ← 1 141.26 m → S 20.899871°
E 29.146729°		 →
↑
1 141.17 m
↓
↑
1 141.17 m
↓
S 20.910134°
E 29.135742°		 ← 1 141.18 m →
1 302 333 m²		 S 20.910134°
E 29.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580947875976562 y=0.559402465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580947875976562 × 215)
    floor (0.580947875976562 × 32768)
    floor (19036.5)     		tx = 19036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559402465820312 × 215)
    floor (0.559402465820312 × 32768)
    floor (18330.5)     		ty = 18330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19036 / 18330 ti = "15/19036/18330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19036/18330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19036 ÷ 215
    19036 ÷ 32768     		x = 0.5809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18330 ÷ 215
    18330 ÷ 32768     		y = 0.55938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5809326171875 × 2 - 1) × π
    0.161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50851463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.1187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.373140826642517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50851463} λ = 0.50851463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373140826642517))-π/2
    2×atan(0.688568257259929)-π/2
    2×0.603012379277577-π/2
    1.20602475855515-1.57079632675     		φ = -0.36477157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50851463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36477157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.899871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19036 KachelY 18330 0.50851463 -0.36477157 29.135742 -20.899871
    Oben rechts KachelX + 1 19037 KachelY 18330 0.50870638 -0.36477157 29.146729 -20.899871
    Unten links KachelX 19036 KachelY + 1 18331 0.50851463 -0.36495069 29.135742 -20.910134
    Unten rechts KachelX + 1 19037 KachelY + 1 18331 0.50870638 -0.36495069 29.146729 -20.910134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36477157--0.36495069) × R
    0.000179120000000033 × 6371000     		dl = 1141.17352000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36477157--0.36495069) × R
    0.000179120000000033 × 6371000     		dr = 1141.17352000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50851463-0.50870638) × cos(-0.36477157) × R
    0.000191750000000046 × 0.934205274719889 × 6371000     		do = 1141.26183115512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50851463-0.50870638) × cos(-0.36495069) × R
    0.000191750000000046 × 0.934141361198727 × 6371000     		du = 1141.18375188907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36477157)-sin(-0.36495069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934205274719889-0.934141361198727)×R²
    abs(0.50870638-0.50851463)×6.39135211619735e-05×R²
    0.000191750000000046×6.39135211619735e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.39135211619735e-05×40589641000000     		ar = 1302333.23358759m²