Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19035 / 18333
↖ ↑ ↗
← S 20.930659°
E 29.124756°		 ← 1 141.03 m → S 20.930659°
E 29.135742°		 →
↑
1 140.98 m
↓
↑
1 140.98 m
↓
S 20.940920°
E 29.124756°		 ← 1 140.95 m →
1 301 848 m²		 S 20.940920°
E 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580917358398438 y=0.559494018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580917358398438 × 215)
    floor (0.580917358398438 × 32768)
    floor (19035.5)     		tx = 19035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559494018554688 × 215)
    floor (0.559494018554688 × 32768)
    floor (18333.5)     		ty = 18333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19035 / 18333 ti = "15/19035/18333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19035/18333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19035 ÷ 215
    19035 ÷ 32768     		x = 0.580902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18333 ÷ 215
    18333 ÷ 32768     		y = 0.559478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580902099609375 × 2 - 1) × π
    0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.11895751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.373716069437958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50832288} λ = 0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.373716069437958))-π/2
    2×atan(0.688172277234019)-π/2
    2×0.602743709431235-π/2
    1.20548741886247-1.57079632675     		φ = -0.36530891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36530891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.930659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19035 KachelY 18333 0.50832288 -0.36530891 29.124756 -20.930659
    Oben rechts KachelX + 1 19036 KachelY 18333 0.50851463 -0.36530891 29.135742 -20.930659
    Unten links KachelX 19035 KachelY + 1 18334 0.50832288 -0.36548800 29.124756 -20.940920
    Unten rechts KachelX + 1 19036 KachelY + 1 18334 0.50851463 -0.36548800 29.135742 -20.940920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36530891--0.36548800) × R
    0.000179089999999993 × 6371000     		dl = 1140.98238999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36530891--0.36548800) × R
    0.000179089999999993 × 6371000     		dr = 1140.98238999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50832288-0.50851463) × cos(-0.36530891) × R
    0.000191749999999935 × 0.934013451390309 × 6371000     		do = 1141.02749224598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50832288-0.50851463) × cos(-0.36548800) × R
    0.000191749999999935 × 0.9339494586879 × 6371000     		du = 1140.94931624901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36530891)-sin(-0.36548800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934013451390309-0.9339494586879)×R²
    abs(0.50851463-0.50832288)×6.39927024091991e-05×R²
    0.000191749999999935×6.39927024091991e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.39927024091991e-05×40589641000000     		ar = 1301847.67992006m²