Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19034 / 18329
↖ ↑ ↗
← S 20.889607°
E 29.113770°		 ← 1 141.28 m → S 20.889607°
E 29.124756°		 →
↑
1 141.30 m
↓
↑
1 141.30 m
↓
S 20.899871°
E 29.113770°		 ← 1 141.20 m →
1 302 500 m²		 S 20.899871°
E 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580886840820312 y=0.559371948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580886840820312 × 215)
    floor (0.580886840820312 × 32768)
    floor (19034.5)     		tx = 19034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.559371948242188 × 215)
    floor (0.559371948242188 × 32768)
    floor (18329.5)     		ty = 18329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19034 / 18329 ti = "15/19034/18329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19034/18329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19034 ÷ 215
    19034 ÷ 32768     		x = 0.58087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18329 ÷ 215
    18329 ÷ 32768     		y = 0.559356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58087158203125 × 2 - 1) × π
    0.1617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50813114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.559356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.11871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.372949079044037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50813114} λ = 0.50813114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.372949079044037))-π/2
    2×atan(0.688700301228801)-π/2
    2×0.603101948149482-π/2
    1.20620389629896-1.57079632675     		φ = -0.36459243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50813114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.113770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36459243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.889607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19034 KachelY 18329 0.50813114 -0.36459243 29.113770 -20.889607
    Oben rechts KachelX + 1 19035 KachelY 18329 0.50832288 -0.36459243 29.124756 -20.889607
    Unten links KachelX 19034 KachelY + 1 18330 0.50813114 -0.36477157 29.113770 -20.899871
    Unten rechts KachelX + 1 19035 KachelY + 1 18330 0.50832288 -0.36477157 29.124756 -20.899871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36459243--0.36477157) × R
    0.000179139999999967 × 6371000     		dl = 1141.30093999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36459243--0.36477157) × R
    0.000179139999999967 × 6371000     		dr = 1141.30093999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50813114-0.50832288) × cos(-0.36459243) × R
    0.000191739999999996 × 0.934269165399404 × 6371000     		do = 1141.2803602281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50813114-0.50832288) × cos(-0.36477157) × R
    0.000191739999999996 × 0.934205274719889 × 6371000     		du = 1141.20231293677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36459243)-sin(-0.36477157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934269165399404-0.934205274719889)×R²
    abs(0.50832288-0.50813114)×6.38906795149552e-05×R²
    0.000191739999999996×6.38906795149552e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.38906795149552e-05×40589641000000     		ar = 1302499.8136912m²