Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18834 / 18286
↖ ↑ ↗
← S 20.447603°
E 26.916504°		 ← 1 144.61 m → S 20.447603°
E 26.927490°		 →
↑
1 144.61 m
↓
↑
1 144.61 m
↓
S 20.457896°
E 26.916504°		 ← 1 144.53 m →
1 310 089 m²		 S 20.457896°
E 26.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574783325195312 y=0.558059692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574783325195312 × 215)
    floor (0.574783325195312 × 32768)
    floor (18834.5)     		tx = 18834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558059692382812 × 215)
    floor (0.558059692382812 × 32768)
    floor (18286.5)     		ty = 18286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18834 / 18286 ti = "15/18834/18286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18834/18286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18834 ÷ 215
    18834 ÷ 32768     		x = 0.57476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18286 ÷ 215
    18286 ÷ 32768     		y = 0.55804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57476806640625 × 2 - 1) × π
    0.1495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46978162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1160888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.364703932309387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46978162} λ = 0.46978162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.364703932309387))-π/2
    2×atan(0.694402210505516)-π/2
    2×0.60695917041398-π/2
    1.21391834082796-1.57079632675     		φ = -0.35687799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46978162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.916504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35687799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.447603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18834 KachelY 18286 0.46978162 -0.35687799 26.916504 -20.447603
    Oben rechts KachelX + 1 18835 KachelY 18286 0.46997336 -0.35687799 26.927490 -20.447603
    Unten links KachelX 18834 KachelY + 1 18287 0.46978162 -0.35705765 26.916504 -20.457896
    Unten rechts KachelX + 1 18835 KachelY + 1 18287 0.46997336 -0.35705765 26.927490 -20.457896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35687799--0.35705765) × R
    0.000179660000000026 × 6371000     		dl = 1144.61386000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35687799--0.35705765) × R
    0.000179660000000026 × 6371000     		dr = 1144.61386000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46978162-0.46997336) × cos(-0.35687799) × R
    0.000191739999999996 × 0.936992064505939 × 6371000     		do = 1144.60658717453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46978162-0.46997336) × cos(-0.35705765) × R
    0.000191739999999996 × 0.936929285047957 × 6371000     		du = 1144.52989732425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35687799)-sin(-0.35705765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936992064505939-0.936929285047957)×R²
    abs(0.46997336-0.46978162)×6.2779457982387e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2779457982387e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2779457982387e-05×40589641000000     		ar = 1310088.67731858m²