Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18833 / 18382
↖ ↑ ↗
← S 21.432617°
E 26.905518°		 ← 1 137.16 m → S 21.432617°
E 26.916504°		 →
↑
1 137.10 m
↓
↑
1 137.10 m
↓
S 21.442843°
E 26.905518°		 ← 1 137.08 m →
1 293 015 m²		 S 21.442843°
E 26.916504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574752807617188 y=0.560989379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574752807617188 × 215)
    floor (0.574752807617188 × 32768)
    floor (18833.5)     		tx = 18833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560989379882812 × 215)
    floor (0.560989379882812 × 32768)
    floor (18382.5)     		ty = 18382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18833 / 18382 ti = "15/18833/18382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18833/18382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18833 ÷ 215
    18833 ÷ 32768     		x = 0.574737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18382 ÷ 215
    18382 ÷ 32768     		y = 0.56097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574737548828125 × 2 - 1) × π
    0.14947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46958987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56097412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.383111701763489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46958987} λ = 0.46958987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.383111701763489))-π/2
    2×atan(0.681736743836199)-π/2
    2×0.598363297600748-π/2
    1.1967265952015-1.57079632675     		φ = -0.37406973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46958987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.905518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37406973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.432617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18833 KachelY 18382 0.46958987 -0.37406973 26.905518 -21.432617
    Oben rechts KachelX + 1 18834 KachelY 18382 0.46978162 -0.37406973 26.916504 -21.432617
    Unten links KachelX 18833 KachelY + 1 18383 0.46958987 -0.37424821 26.905518 -21.442843
    Unten rechts KachelX + 1 18834 KachelY + 1 18383 0.46978162 -0.37424821 26.916504 -21.442843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37406973--0.37424821) × R
    0.000178480000000036 × 6371000     		dl = 1137.09608000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37406973--0.37424821) × R
    0.000178480000000036 × 6371000     		dr = 1137.09608000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46958987-0.46978162) × cos(-0.37406973) × R
    0.000191749999999991 × 0.930847951577126 × 6371000     		do = 1137.16039342866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46958987-0.46978162) × cos(-0.37424821) × R
    0.000191749999999991 × 0.930782718955064 × 6371000     		du = 1137.08070269717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37406973)-sin(-0.37424821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930847951577126-0.930782718955064)×R²
    abs(0.46978162-0.46958987)×6.52326220615951e-05×R²
    0.000191749999999991×6.52326220615951e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.52326220615951e-05×40589641000000     		ar = 1293015.32112258m²