Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18831 / 18289
↖ ↑ ↗
← S 20.478482°
E 26.883545°		 ← 1 144.44 m → S 20.478482°
E 26.894531°		 →
↑
1 144.36 m
↓
↑
1 144.36 m
↓
S 20.488773°
E 26.883545°		 ← 1 144.36 m →
1 309 602 m²		 S 20.488773°
E 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574691772460938 y=0.558151245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574691772460938 × 215)
    floor (0.574691772460938 × 32768)
    floor (18831.5)     		tx = 18831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558151245117188 × 215)
    floor (0.558151245117188 × 32768)
    floor (18289.5)     		ty = 18289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18831 / 18289 ti = "15/18831/18289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18831/18289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18831 ÷ 215
    18831 ÷ 32768     		x = 0.574676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18289 ÷ 215
    18289 ÷ 32768     		y = 0.558135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574676513671875 × 2 - 1) × π
    0.14935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46920637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558135986328125 × 2 - 1) × π
    -0.11627197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.365279175104828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46920637} λ = 0.46920637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.365279175104828))-π/2
    2×atan(0.694002875505087)-π/2
    2×0.60668969853701-π/2
    1.21337939707402-1.57079632675     		φ = -0.35741693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46920637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.883545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35741693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.478482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18831 KachelY 18289 0.46920637 -0.35741693 26.883545 -20.478482
    Oben rechts KachelX + 1 18832 KachelY 18289 0.46939812 -0.35741693 26.894531 -20.478482
    Unten links KachelX 18831 KachelY + 1 18290 0.46920637 -0.35759655 26.883545 -20.488773
    Unten rechts KachelX + 1 18832 KachelY + 1 18290 0.46939812 -0.35759655 26.894531 -20.488773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35741693--0.35759655) × R
    0.000179619999999991 × 6371000     		dl = 1144.35901999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35741693--0.35759655) × R
    0.000179619999999991 × 6371000     		dr = 1144.35901999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46920637-0.46939812) × cos(-0.35741693) × R
    0.000191749999999991 × 0.936803649402433 × 6371000     		do = 1144.43610765319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46920637-0.46939812) × cos(-0.35759655) × R
    0.000191749999999991 × 0.936740793232409 × 6371000     		du = 1144.35932008879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35741693)-sin(-0.35759655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936803649402433-0.936740793232409)×R²
    abs(0.46939812-0.46920637)×6.28561700238839e-05×R²
    0.000191749999999991×6.28561700238839e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.28561700238839e-05×40589641000000     		ar = 1309601.84985656m²