Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1851 / 2802
↖ ↑ ↗
← S 55.078367°
W 17.314453°		 ← 5 594.64 m → S 55.078367°
W 17.226562°		 →
↑
5 591.13 m
↓
↑
5 591.13 m
↓
S 55.128649°
W 17.314453°		 ← 5 587.60 m →
31 260 653 m²		 S 55.128649°
W 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4520263671875 y=0.6842041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4520263671875 × 212)
    floor (0.4520263671875 × 4096)
    floor (1851.5)     		tx = 1851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6842041015625 × 212)
    floor (0.6842041015625 × 4096)
    floor (2802.5)     		ty = 2802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1851 / 2802 ti = "12/1851/2802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1851/2802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1851 ÷ 212
    1851 ÷ 4096     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2802 ÷ 212
    2802 ÷ 4096     		y = 0.68408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68408203125 × 2 - 1) × π
    -0.3681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15662151403271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15662151403271))-π/2
    2×atan(0.314547080654043)-π/2
    2×0.304748735996301-π/2
    0.609497471992602-1.57079632675     		φ = -0.96129885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96129885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.078367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1851 KachelY 2802 -0.30219422 -0.96129885 -17.314453 -55.078367
    Oben rechts KachelX + 1 1852 KachelY 2802 -0.30066023 -0.96129885 -17.226562 -55.078367
    Unten links KachelX 1851 KachelY + 1 2803 -0.30219422 -0.96217644 -17.314453 -55.128649
    Unten rechts KachelX + 1 1852 KachelY + 1 2803 -0.30066023 -0.96217644 -17.226562 -55.128649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96129885--0.96217644) × R
    0.000877589999999984 × 6371000     		dl = 5591.1258899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96129885--0.96217644) × R
    0.000877589999999984 × 6371000     		dr = 5591.1258899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30066023) × cos(-0.96129885) × R
    0.00153399000000004 × 0.572455495635847 × 6371000     		do = 5594.63634763616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30066023) × cos(-0.96217644) × R
    0.00153399000000004 × 0.571735707832812 × 6371000     		du = 5587.60182523897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96129885)-sin(-0.96217644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572455495635847-0.571735707832812)×R²
    abs(-0.30066023--0.30219422)×0.000719787803034833×R²
    0.00153399000000004×0.000719787803034833×6371000²
    0.00153399000000004×0.000719787803034833×40589641000000     		ar = 31260652.6845751m²