Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18437 / 18461
↖ ↑ ↗
← S 22.238260°
E 22.554932°		 ← 1 130.77 m → S 22.238260°
E 22.565918°		 →
↑
1 130.66 m
↓
↑
1 130.66 m
↓
S 22.248428°
E 22.554932°		 ← 1 130.69 m →
1 278 473 m²		 S 22.248428°
E 22.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562667846679688 y=0.563400268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562667846679688 × 215)
    floor (0.562667846679688 × 32768)
    floor (18437.5)     		tx = 18437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563400268554688 × 215)
    floor (0.563400268554688 × 32768)
    floor (18461.5)     		ty = 18461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18437 / 18461 ti = "15/18437/18461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18437/18461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18437 ÷ 215
    18437 ÷ 32768     		x = 0.562652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18461 ÷ 215
    18461 ÷ 32768     		y = 0.563385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562652587890625 × 2 - 1) × π
    0.12530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39365782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.12677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.398259762043427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39365782} λ = 0.39365782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.398259762043427))-π/2
    2×atan(0.671487578019891)-π/2
    2×0.591332735560107-π/2
    1.18266547112021-1.57079632675     		φ = -0.38813086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39365782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.554932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38813086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.238260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18437 KachelY 18461 0.39365782 -0.38813086 22.554932 -22.238260
    Oben rechts KachelX + 1 18438 KachelY 18461 0.39384957 -0.38813086 22.565918 -22.238260
    Unten links KachelX 18437 KachelY + 1 18462 0.39365782 -0.38830833 22.554932 -22.248428
    Unten rechts KachelX + 1 18438 KachelY + 1 18462 0.39384957 -0.38830833 22.565918 -22.248428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38813086--0.38830833) × R
    0.000177469999999957 × 6371000     		dl = 1130.66136999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38813086--0.38830833) × R
    0.000177469999999957 × 6371000     		dr = 1130.66136999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39365782-0.39384957) × cos(-0.38813086) × R
    0.000191749999999991 × 0.925618069148094 × 6371000     		do = 1130.77136378047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39365782-0.39384957) × cos(-0.38830833) × R
    0.000191749999999991 × 0.92555088945904 × 6371000     		du = 1130.68929443552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38813086)-sin(-0.38830833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925618069148094-0.92555088945904)×R²
    abs(0.39384957-0.39365782)×6.7179689054786e-05×R²
    0.000191749999999991×6.7179689054786e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.7179689054786e-05×40589641000000     		ar = 1278473.10636507m²