Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18382 / 18445
↖ ↑ ↗
← S 22.075459°
E 21.950683°		 ← 1 132.08 m → S 22.075459°
E 21.961670°		 →
↑
1 132 m
↓
↑
1 132 m
↓
S 22.085640°
E 21.950683°		 ← 1 132 m →
1 281 468 m²		 S 22.085640°
E 21.961670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560989379882812 y=0.562911987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560989379882812 × 215)
    floor (0.560989379882812 × 32768)
    floor (18382.5)     		tx = 18382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562911987304688 × 215)
    floor (0.562911987304688 × 32768)
    floor (18445.5)     		ty = 18445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18382 / 18445 ti = "15/18382/18445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18382/18445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18382 ÷ 215
    18382 ÷ 32768     		x = 0.56097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18445 ÷ 215
    18445 ÷ 32768     		y = 0.562896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56097412109375 × 2 - 1) × π
    0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.12579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.395191800467743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38311170} λ = 0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395191800467743))-π/2
    2×atan(0.673550839492914)-π/2
    2×0.592753438615349-π/2
    1.1855068772307-1.57079632675     		φ = -0.38528945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38528945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.075459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18382 KachelY 18445 0.38311170 -0.38528945 21.950683 -22.075459
    Oben rechts KachelX + 1 18383 KachelY 18445 0.38330345 -0.38528945 21.961670 -22.075459
    Unten links KachelX 18382 KachelY + 1 18446 0.38311170 -0.38546713 21.950683 -22.085640
    Unten rechts KachelX + 1 18383 KachelY + 1 18446 0.38330345 -0.38546713 21.961670 -22.085640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38528945--0.38546713) × R
    0.000177680000000013 × 6371000     		dl = 1131.99928000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38528945--0.38546713) × R
    0.000177680000000013 × 6371000     		dr = 1131.99928000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38311170-0.38330345) × cos(-0.38528945) × R
    0.000191749999999991 × 0.926689688258381 × 6371000     		do = 1132.08049574665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38311170-0.38330345) × cos(-0.38546713) × R
    0.000191749999999991 × 0.926622896621473 × 6371000     		du = 1131.99890046143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38528945)-sin(-0.38546713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926689688258381-0.926622896621473)×R²
    abs(0.38330345-0.38311170)×6.6791636908814e-05×R²
    0.000191749999999991×6.6791636908814e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.6791636908814e-05×40589641000000     		ar = 1281468.1265567m²