Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1838 / 2778
↖ ↑ ↗
← S 53.852527°
W 18.457032°		 ← 5 764.79 m → S 53.852527°
W 18.369140°		 →
↑
5 761.17 m
↓
↑
5 761.17 m
↓
S 53.904338°
W 18.457032°		 ← 5 757.65 m →
33 191 341 m²		 S 53.904338°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4488525390625 y=0.6783447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4488525390625 × 212)
    floor (0.4488525390625 × 4096)
    floor (1838.5)     		tx = 1838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6783447265625 × 212)
    floor (0.6783447265625 × 4096)
    floor (2778.5)     		ty = 2778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1838 / 2778 ti = "12/1838/2778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1838/2778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1838 ÷ 212
    1838 ÷ 4096     		x = 0.44873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2778 ÷ 212
    2778 ÷ 4096     		y = 0.67822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32213597} λ = -0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11980597512451))-π/2
    2×atan(0.326343107161471)-π/2
    2×0.315446213559052-π/2
    0.630892427118103-1.57079632675     		φ = -0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1838 KachelY 2778 -0.32213597 -0.93990390 -18.457032 -53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 1839 KachelY 2778 -0.32060198 -0.93990390 -18.369140 -53.852527
    Unten links KachelX 1838 KachelY + 1 2779 -0.32213597 -0.94080818 -18.457032 -53.904338
    Unten rechts KachelX + 1 1839 KachelY + 1 2779 -0.32060198 -0.94080818 -18.369140 -53.904338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93990390--0.94080818) × R
    0.00090427999999998 × 6371000     		dl = 5761.16787999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93990390--0.94080818) × R
    0.00090427999999998 × 6371000     		dr = 5761.16787999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32213597--0.32060198) × cos(-0.93990390) × R
    0.00153398999999999 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 5764.78645305109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32213597--0.32060198) × cos(-0.94080818) × R
    0.00153398999999999 × 0.589135180185098 × 6371000     		du = 5757.64774355711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93990390)-sin(-0.94080818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.589135180185098)×R²
    abs(-0.32060198--0.32213597)×0.000730448455921962×R²
    0.00153398999999999×0.000730448455921962×6371000²
    0.00153398999999999×0.000730448455921962×40589641000000     		ar = 33191341.1582306m²