Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1833 / 2757
↖ ↑ ↗
← S 52.749594°
W 18.896484°		 ← 5 915.59 m → S 52.749594°
W 18.808594°		 →
↑
5 911.97 m
↓
↑
5 911.97 m
↓
S 52.802761°
W 18.896484°		 ← 5 908.36 m →
34 951 415 m²		 S 52.802761°
W 18.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4476318359375 y=0.6732177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4476318359375 × 212)
    floor (0.4476318359375 × 4096)
    floor (1833.5)     		tx = 1833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6732177734375 × 212)
    floor (0.6732177734375 × 4096)
    floor (2757.5)     		ty = 2757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1833 / 2757 ti = "12/1833/2757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1833/2757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1833 ÷ 212
    1833 ÷ 4096     		x = 0.447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2757 ÷ 212
    2757 ÷ 4096     		y = 0.673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.10498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32980587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.34619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08759237857983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32980587} λ = -0.32980587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08759237857983))-π/2
    2×atan(0.337026950984452)-π/2
    2×0.325071118596367-π/2
    0.650142237192734-1.57079632675     		φ = -0.92065409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32980587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.896484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92065409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.749594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1833 KachelY 2757 -0.32980587 -0.92065409 -18.896484 -52.749594
    Oben rechts KachelX + 1 1834 KachelY 2757 -0.32827189 -0.92065409 -18.808594 -52.749594
    Unten links KachelX 1833 KachelY + 1 2758 -0.32980587 -0.92158204 -18.896484 -52.802761
    Unten rechts KachelX + 1 1834 KachelY + 1 2758 -0.32827189 -0.92158204 -18.808594 -52.802761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92065409--0.92158204) × R
    0.000927950000000011 × 6371000     		dl = 5911.96945000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92065409--0.92158204) × R
    0.000927950000000011 × 6371000     		dr = 5911.96945000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32980587--0.32827189) × cos(-0.92065409) × R
    0.00153397999999999 × 0.605299632021777 × 6371000     		do = 5915.58518062773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32980587--0.32827189) × cos(-0.92158204) × R
    0.00153397999999999 × 0.604560725443044 × 6371000     		du = 5908.3638565499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92065409)-sin(-0.92158204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605299632021777-0.604560725443044)×R²
    abs(-0.32827189--0.32980587)×0.000738906578732657×R²
    0.00153397999999999×0.000738906578732657×6371000²
    0.00153397999999999×0.000738906578732657×40589641000000     		ar = 34951415.2511014m²