Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1831 / 2744
↖ ↑ ↗
← S 52.052490°
W 19.072266°		 ← 6 009.79 m → S 52.052490°
W 18.984375°		 →
↑
6 006.20 m
↓
↑
6 006.20 m
↓
S 52.106505°
W 19.072266°		 ← 6 002.53 m →
36 074 177 m²		 S 52.106505°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4471435546875 y=0.6700439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4471435546875 × 212)
    floor (0.4471435546875 × 4096)
    floor (1831.5)     		tx = 1831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6700439453125 × 212)
    floor (0.6700439453125 × 4096)
    floor (2744.5)     		ty = 2744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1831 / 2744 ti = "12/1831/2744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1831/2744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1831 ÷ 212
    1831 ÷ 4096     		x = 0.447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2744 ÷ 212
    2744 ÷ 4096     		y = 0.669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33287383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669921875 × 2 - 1) × π
    -0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33287383} λ = -0.33287383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06765062833789))-π/2
    2×atan(0.343815319277005)-π/2
    2×0.331154492072227-π/2
    0.662308984144454-1.57079632675     		φ = -0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33287383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.072266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1831 KachelY 2744 -0.33287383 -0.90848734 -19.072266 -52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 1832 KachelY 2744 -0.33133985 -0.90848734 -18.984375 -52.052490
    Unten links KachelX 1831 KachelY + 1 2745 -0.33287383 -0.90943008 -19.072266 -52.106505
    Unten rechts KachelX + 1 1832 KachelY + 1 2745 -0.33133985 -0.90943008 -18.984375 -52.106505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90848734--0.90943008) × R
    0.000942740000000053 × 6371000     		dl = 6006.19654000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90848734--0.90943008) × R
    0.000942740000000053 × 6371000     		dr = 6006.19654000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33287383--0.33133985) × cos(-0.90848734) × R
    0.00153397999999999 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 6009.79350288321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33287383--0.33133985) × cos(-0.90943008) × R
    0.00153397999999999 × 0.614195603760768 × 6371000     		du = 6002.52539304895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90848734)-sin(-0.90943008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.614195603760768)×R²
    abs(-0.33133985--0.33287383)×0.000743693831437242×R²
    0.00153397999999999×0.000743693831437242×6371000²
    0.00153397999999999×0.000743693831437242×40589641000000     		ar = 36074176.7668364m²