Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1829 / 2740
↖ ↑ ↗
← S 51.835778°
W 19.248047°		 ← 6 038.90 m → S 51.835778°
W 19.160156°		 →
↑
6 035.25 m
↓
↑
6 035.25 m
↓
S 51.890054°
W 19.248047°		 ← 6 031.62 m →
36 424 290 m²		 S 51.890054°
W 19.160156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4466552734375 y=0.6690673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4466552734375 × 212)
    floor (0.4466552734375 × 4096)
    floor (1829.5)     		tx = 1829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6690673828125 × 212)
    floor (0.6690673828125 × 4096)
    floor (2740.5)     		ty = 2740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1829 / 2740 ti = "12/1829/2740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1829/2740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1829 ÷ 212
    1829 ÷ 4096     		x = 0.446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2740 ÷ 212
    2740 ÷ 4096     		y = 0.6689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.10693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33594179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6689453125 × 2 - 1) × π
    -0.337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06151470518652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33594179} λ = -0.33594179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06151470518652))-π/2
    2×atan(0.345931429158948)-π/2
    2×0.333045669375243-π/2
    0.666091338750486-1.57079632675     		φ = -0.90470499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33594179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.248047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90470499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.835778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1829 KachelY 2740 -0.33594179 -0.90470499 -19.248047 -51.835778
    Oben rechts KachelX + 1 1830 KachelY 2740 -0.33440781 -0.90470499 -19.160156 -51.835778
    Unten links KachelX 1829 KachelY + 1 2741 -0.33594179 -0.90565229 -19.248047 -51.890054
    Unten rechts KachelX + 1 1830 KachelY + 1 2741 -0.33440781 -0.90565229 -19.160156 -51.890054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90470499--0.90565229) × R
    0.000947299999999984 × 6371000     		dl = 6035.2482999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90470499--0.90565229) × R
    0.000947299999999984 × 6371000     		dr = 6035.2482999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33594179--0.33440781) × cos(-0.90470499) × R
    0.00153397999999999 × 0.617917556336133 × 6371000     		do = 6038.89998561939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33594179--0.33440781) × cos(-0.90565229) × R
    0.00153397999999999 × 0.617172471298336 × 6371000     		du = 6031.61827954403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90470499)-sin(-0.90565229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617917556336133-0.617172471298336)×R²
    abs(-0.33440781--0.33594179)×0.000745085037797133×R²
    0.00153397999999999×0.000745085037797133×6371000²
    0.00153397999999999×0.000745085037797133×40589641000000     		ar = 36424290.1438359m²