Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1826 / 2743
↖ ↑ ↗
← S 51.998411°
W 19.511718°		 ← 6 017.06 m → S 51.998411°
W 19.423828°		 →
↑
6 013.40 m
↓
↑
6 013.40 m
↓
S 52.052490°
W 19.511718°		 ← 6 009.79 m →
36 161 133 m²		 S 52.052490°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4459228515625 y=0.6697998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4459228515625 × 212)
    floor (0.4459228515625 × 4096)
    floor (1826.5)     		tx = 1826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6697998046875 × 212)
    floor (0.6697998046875 × 4096)
    floor (2743.5)     		ty = 2743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1826 / 2743 ti = "12/1826/2743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1826/2743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1826 ÷ 212
    1826 ÷ 4096     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2743 ÷ 212
    2743 ÷ 4096     		y = 0.669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.33935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06611664755005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06611664755005))-π/2
    2×atan(0.344343130093669)-π/2
    2×0.331626429918871-π/2
    0.663252859837743-1.57079632675     		φ = -0.90754347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90754347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.998411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1826 KachelY 2743 -0.34054373 -0.90754347 -19.511718 -51.998411
    Oben rechts KachelX + 1 1827 KachelY 2743 -0.33900975 -0.90754347 -19.423828 -51.998411
    Unten links KachelX 1826 KachelY + 1 2744 -0.34054373 -0.90848734 -19.511718 -52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 1827 KachelY + 1 2744 -0.33900975 -0.90848734 -19.423828 -52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90754347--0.90848734) × R
    0.000943869999999958 × 6371000     		dl = 6013.39576999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90754347--0.90848734) × R
    0.000943869999999958 × 6371000     		dr = 6013.39576999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.33900975) × cos(-0.90754347) × R
    0.00153397999999999 × 0.615683335324272 × 6371000     		do = 6017.06497365372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.33900975) × cos(-0.90848734) × R
    0.00153397999999999 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 6009.79350288321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90754347)-sin(-0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615683335324272-0.614939297592205)×R²
    abs(-0.33900975--0.34054373)×0.000744037732067104×R²
    0.00153397999999999×0.000744037732067104×6371000²
    0.00153397999999999×0.000744037732067104×40589641000000     		ar = 36161132.6292308m²