Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1824 / 2912
↖ ↑ ↗
← S 60.239811°
W 19.687500°		 ← 4 851.03 m → S 60.239811°
W 19.599610°		 →
↑
4 847.76 m
↓
↑
4 847.76 m
↓
S 60.283408°
W 19.687500°		 ← 4 844.57 m →
23 500 948 m²		 S 60.283408°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4454345703125 y=0.7110595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4454345703125 × 212)
    floor (0.4454345703125 × 4096)
    floor (1824.5)     		tx = 1824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7110595703125 × 212)
    floor (0.7110595703125 × 4096)
    floor (2912.5)     		ty = 2912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1824 / 2912 ti = "12/1824/2912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1824/2912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1824 ÷ 212
    1824 ÷ 4096     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2912 ÷ 212
    2912 ÷ 4096     		y = 0.7109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7109375 × 2 - 1) × π
    -0.421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.32535940069531))-π/2
    2×atan(0.26570744648529)-π/2
    2×0.259706640558781-π/2
    0.519413281117561-1.57079632675     		φ = -1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1824 KachelY 2912 -0.34361170 -1.05138305 -19.687500 -60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 1825 KachelY 2912 -0.34207772 -1.05138305 -19.599610 -60.239811
    Unten links KachelX 1824 KachelY + 1 2913 -0.34361170 -1.05214396 -19.687500 -60.283408
    Unten rechts KachelX + 1 1825 KachelY + 1 2913 -0.34207772 -1.05214396 -19.599610 -60.283408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05138305--1.05214396) × R
    0.000760909999999893 × 6371000     		dl = 4847.75760999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05138305--1.05214396) × R
    0.000760909999999893 × 6371000     		dr = 4847.75760999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.34207772) × cos(-1.05138305) × R
    0.00153398000000005 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 4851.02597531406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.34207772) × cos(-1.05214396) × R
    0.00153398000000005 × 0.495710185059438 × 6371000     		du = 4844.56898615535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05138305)-sin(-1.05214396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.495710185059438)×R²
    abs(-0.34207772--0.34361170)×0.000660697638930507×R²
    0.00153398000000005×0.000660697638930507×6371000²
    0.00153398000000005×0.000660697638930507×40589641000000     		ar = 23500948.2628544m²