Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1823 / 2779
↖ ↑ ↗
← S 53.904338°
W 19.775391°		 ← 5 757.61 m → S 53.904338°
W 19.687500°		 →
↑
5 754.03 m
↓
↑
5 754.03 m
↓
S 53.956085°
W 19.775391°		 ← 5 750.48 m →
33 108 952 m²		 S 53.956085°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4451904296875 y=0.6785888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4451904296875 × 212)
    floor (0.4451904296875 × 4096)
    floor (1823.5)     		tx = 1823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6785888671875 × 212)
    floor (0.6785888671875 × 4096)
    floor (2779.5)     		ty = 2779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1823 / 2779 ti = "12/1823/2779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1823/2779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1823 ÷ 212
    1823 ÷ 4096     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2779 ÷ 212
    2779 ÷ 4096     		y = 0.678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.35693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12133995591235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12133995591235))-π/2
    2×atan(0.32584288686709)-π/2
    2×0.314994072439188-π/2
    0.629988144878375-1.57079632675     		φ = -0.94080818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94080818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.904338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1823 KachelY 2779 -0.34514568 -0.94080818 -19.775391 -53.904338
    Oben rechts KachelX + 1 1824 KachelY 2779 -0.34361170 -0.94080818 -19.687500 -53.904338
    Unten links KachelX 1823 KachelY + 1 2780 -0.34514568 -0.94171134 -19.775391 -53.956085
    Unten rechts KachelX + 1 1824 KachelY + 1 2780 -0.34361170 -0.94171134 -19.687500 -53.956085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94080818--0.94171134) × R
    0.000903160000000014 × 6371000     		dl = 5754.03236000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94080818--0.94171134) × R
    0.000903160000000014 × 6371000     		dr = 5754.03236000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34361170) × cos(-0.94080818) × R
    0.00153397999999999 × 0.589135180185098 × 6371000     		do = 5757.6102097548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34361170) × cos(-0.94171134) × R
    0.00153397999999999 × 0.588405155574787 × 6371000     		du = 5750.47568903517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94080818)-sin(-0.94171134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589135180185098-0.588405155574787)×R²
    abs(-0.34361170--0.34514568)×0.000730024610310909×R²
    0.00153397999999999×0.000730024610310909×6371000²
    0.00153397999999999×0.000730024610310909×40589641000000     		ar = 33108951.5822269m²