Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1821 / 2800
↖ ↑ ↗
← S 54.977613°
W 19.951172°		 ← 5 608.68 m → S 54.977613°
W 19.863281°		 →
↑
5 605.21 m
↓
↑
5 605.21 m
↓
S 55.028022°
W 19.951172°		 ← 5 601.64 m →
31 418 080 m²		 S 55.028022°
W 19.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4447021484375 y=0.6837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4447021484375 × 212)
    floor (0.4447021484375 × 4096)
    floor (1821.5)     		tx = 1821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6837158203125 × 212)
    floor (0.6837158203125 × 4096)
    floor (2800.5)     		ty = 2800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1821 / 2800 ti = "12/1821/2800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1821/2800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1821 ÷ 212
    1821 ÷ 4096     		x = 0.444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2800 ÷ 212
    2800 ÷ 4096     		y = 0.68359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68359375 × 2 - 1) × π
    -0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34821364} λ = -0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15355355245703))-π/2
    2×atan(0.315513580845869)-π/2
    2×0.305627976685362-π/2
    0.611255953370723-1.57079632675     		φ = -0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1821 KachelY 2800 -0.34821364 -0.95954037 -19.951172 -54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 1822 KachelY 2800 -0.34667966 -0.95954037 -19.863281 -54.977613
    Unten links KachelX 1821 KachelY + 1 2801 -0.34821364 -0.96042017 -19.951172 -55.028022
    Unten rechts KachelX + 1 1822 KachelY + 1 2801 -0.34667966 -0.96042017 -19.863281 -55.028022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95954037--0.96042017) × R
    0.000879799999999986 × 6371000     		dl = 5605.20579999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95954037--0.96042017) × R
    0.000879799999999986 × 6371000     		dr = 5605.20579999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34821364--0.34667966) × cos(-0.95954037) × R
    0.00153397999999999 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 5608.68230903533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34821364--0.34667966) × cos(-0.96042017) × R
    0.00153397999999999 × 0.573175735735912 × 6371000     		du = 5601.63877332866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95954037)-sin(-0.96042017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.573175735735912)×R²
    abs(-0.34667966--0.34821364)×0.000720714762986185×R²
    0.00153397999999999×0.000720714762986185×6371000²
    0.00153397999999999×0.000720714762986185×40589641000000     		ar = 31418080.4019573m²