Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1820 / 2767
↖ ↑ ↗
← S 53.278353°
W 20.039063°		 ← 5 843.54 m → S 53.278353°
W 19.951172°		 →
↑
5 839.98 m
↓
↑
5 839.98 m
↓
S 53.330873°
W 20.039063°		 ← 5 836.36 m →
34 105 183 m²		 S 53.330873°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4444580078125 y=0.6756591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4444580078125 × 212)
    floor (0.4444580078125 × 4096)
    floor (1820.5)     		tx = 1820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6756591796875 × 212)
    floor (0.6756591796875 × 4096)
    floor (2767.5)     		ty = 2767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1820 / 2767 ti = "12/1820/2767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1820/2767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1820 ÷ 212
    1820 ÷ 4096     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2767 ÷ 212
    2767 ÷ 4096     		y = 0.675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.35107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10293218645825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10293218645825))-π/2
    2×atan(0.33189647318228)-π/2
    2×0.32045682330898-π/2
    0.640913646617959-1.57079632675     		φ = -0.92988268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92988268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.278353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1820 KachelY 2767 -0.34974762 -0.92988268 -20.039063 -53.278353
    Oben rechts KachelX + 1 1821 KachelY 2767 -0.34821364 -0.92988268 -19.951172 -53.278353
    Unten links KachelX 1820 KachelY + 1 2768 -0.34974762 -0.93079933 -20.039063 -53.330873
    Unten rechts KachelX + 1 1821 KachelY + 1 2768 -0.34821364 -0.93079933 -19.951172 -53.330873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92988268--0.93079933) × R
    0.000916650000000074 × 6371000     		dl = 5839.97715000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92988268--0.93079933) × R
    0.000916650000000074 × 6371000     		dr = 5839.97715000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34821364) × cos(-0.92988268) × R
    0.00153397999999999 × 0.597928024224259 × 6371000     		do = 5843.54255654956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34821364) × cos(-0.93079933) × R
    0.00153397999999999 × 0.597193032501625 × 6371000     		du = 5836.35949230785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92988268)-sin(-0.93079933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597928024224259-0.597193032501625)×R²
    abs(-0.34821364--0.34974762)×0.00073499172263336×R²
    0.00153397999999999×0.00073499172263336×6371000²
    0.00153397999999999×0.00073499172263336×40589641000000     		ar = 34105182.9278545m²